Учитывая множество точек, найдите, если какая-либо из трех точек коллинеарная

Ответ 1

Если вы можете найти лучший алгоритм O (N ^ 2), вы можете его опубликовать!

Эта проблема 3-SUM Hard, и существует ли субквадратичный алгоритм (т.е. лучше, чем O (N ^ 2)), поскольку это открытая проблема. Было показано, что многие распространенные проблемы вычислительной геометрии (включая ваши) сложны 3SUM, и этот класс проблем растет. Как и NP-Hardness, концепция 3SUM-Hardness оказалась полезной для доказательства "жесткости" некоторых проблем.

Для доказательства того, что ваша проблема сложна 3SUM, обратитесь к превосходной бумаге с надписью здесь: http://www.cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf

Ваша проблема появляется на стр. 3 (удобно называется 3-POINTS-ON-LINE) в вышеупомянутой статье.

Итак, самый известный в настоящее время алгоритм - O (N ^ 2), и у вас уже есть его: -)

Ответ 2

Простой алгоритм времени и пространства O (d * N ^ 2), где d - размерность, а N - количество точек (возможно, не оптимальное):

• Создайте ограничивающий прямоугольник вокруг множества точек (сделайте его достаточно большим, чтобы на границе не было точек)
• Для каждой пары точек вычислите проходящую через них линию.
• Для каждой строки вычислите две точки столкновения с ограничивающей рамкой.
• Две точки столкновения определяют исходную строку, поэтому, если есть соответствующие линии, они также будут создавать те же две точки столкновения.
• Используйте хэш-набор, чтобы определить, есть ли повторяющиеся пары точек столкновения.
• Есть 3 коллинеарных точки тогда и только тогда, когда были дубликаты.

Ответ 3

Другое простое (возможно, даже тривиальное) решение, которое не использует хеш-таблицу, работает в O (n ² log n) времени и использует O (n) пространство:

Пусть S - множество точек, мы опишем алгоритм, который выясняет, содержит или нет S три коллинеарные точки.

• Для каждой точки o в S выполните:
  • Проведите строку L параллельно оси x с помощью o.
  • Замените каждую точку в S ниже L, с ее отражением. (Например, если L - ось x, (a,-x) для x>0 после отражения станет (a,x). Пусть новый набор точек S'
  • Угол каждой точки p в S' является прямым углом отрезка po с линией L. Сопоставим точки S' по их углам.
  • Пройдите через отсортированные точки в S'. Если есть две последовательные точки, коллинеарные с помощью o - верните истину.
• Если в цикле не найдено коллинеарных точек - верните false.

Цикл запускает n раз, и каждая итерация выполняет шаги nlog n. Нетрудно доказать, что если на линии будет три точки, они будут найдены, и мы ничего не найдем.