Как равномерно распределить точки на поверхности гиперсфер в более высоких измерениях?

Я заинтересован в равномерном распределении N точек на поверхности сфер размером 3 и выше.

Чтобы быть более конкретным:

Дано количество точек N и количество измерений D (где D> 1, N> 1)
Расстояние каждой точки до начала координат должно быть 1
Минимальное расстояние между любыми двумя точками должно быть как можно большим
Расстояние каждой точки до ее ближайшего соседа не обязательно должно быть одинаковым для каждой точки (в действительности, она не может быть одинаковой, если только число точек не образует вершин платонового тела или если N & lt; = D).

Я не заинтересован в:

Создание равномерного случайного распределения в гиперсфере, потому что я хочу, чтобы минимальное расстояние между любыми двумя точками было как можно большим, а не случайным образом распределенным.
Методы типа имитации отталкивания частиц, потому что их сложно реализовать и они требуют очень много времени для запуска при больших N (в идеале метод должен быть детерминированным и иметь O (n)).

Один метод, который удовлетворяет этим критериям, называется решеткой Фибоначчи, но мне удалось найти только реализации кода для этого в 2d и 3d.

Метод, лежащий в основе решетки Фибоначчи (также называемой спиралью Фибоначчи), заключается в создании 1d-линии, которая проходит по спирали вокруг поверхности сферы, так что площадь поверхности, покрываемая этой линией, примерно одинакова на каждом повороте. Затем вы можете отбросить N точек, равномерно распределенных по спирали, и они будут примерно равномерно распределены по поверхности сферы.

В этом ответе есть реализация Python для 3-х измерений, которая генерирует следующее:

Я хотел знать, можно ли расширить спираль Фибоначчи до размеров выше 3, и разместил вопрос на бирже математического стека. К моему удивлению, я получил два удивительных ответа, которые, насколько я могу судить (поскольку я не полностью понимаю показанную математику), действительно показывают, что этот метод действительно можно расширить до N измерений.

К сожалению, я не понимаю достаточно математики, показанной, чтобы можно было превратить любой ответ в (псевдо) код. Я опытный программист, но мой математический опыт до сих пор так далеко.

Я скопирую то, что я считаю самой важной частью одного из ответов ниже (к сожалению, SO не поддерживает mathjax, поэтому мне пришлось копировать в виде изображения)

Трудности, представленные вышеизложенным, с которыми я борюсь:

Как разрешить обратную функцию, используемую для ψn?
Пример приведен для d = 3. Как создать формулы для произвольного d?

Сможет ли кто-нибудь здесь, кто понимает математические методы, добиться прогресса в реализации псевдокода любого ответа на вопрос о решетке связанной Фибоначчи? Я понимаю, что полная реализация может быть довольно сложной, поэтому я был бы доволен реализацией части, которая уводит меня достаточно далеко, чтобы я мог завершить остальную часть самостоятельно.

Чтобы сделать это проще, я уже кодировал функцию, которая принимает сферические координаты в N измерениях и превращает их в декартовы координаты, поэтому реализация может выводить любую из них, которую я могу легко преобразовать.

Кроме того, я вижу, что один ответ использует следующее простое число для каждого дополнительного измерения. Я могу легко написать функцию, которая выводит каждое последующее простое число, поэтому вы можете предположить, что она уже реализована.

Если бы не было реализации решетки Фибоначчи в N измерениях, я был бы рад принять другой метод, который удовлетворяет вышеуказанным ограничениям.

Ответ 1

Очень интересный вопрос Я хотел внедрить это в мой движок 4D рендеринга, потому что мне было любопытно, как это будет выглядеть, но я был слишком ленив и некомпетентен, чтобы справляться с трансцендентными проблемами ND со стороны математики.

Вместо этого я придумаю другое решение этой проблемы. Это не латекс Фибоначчи !!! Вместо этого я расширяю параметрическое уравнение гиперсферы или n-сферы в гиперспираль, а затем просто подгоняю параметры спирали так, чтобы точки более или менее равноудалены.

Это звучит ужасно, я знаю, но это не так сложно, и результаты выглядят правильно для меня (наконец-то :) после устранения некоторых глупых ошибок копирования/вставки опечаток)

Основная идея состоит в том, чтобы использовать n-мерные параметрические уравнения для гиперсферы для вычисления точек ее поверхности по углам и радиусу. Вот реализация:

алгоритм растеризации и заполнения гиперсферы?

смотрите [edit2]. Теперь проблема сводится к двум основным проблемам:

вычислить количество винтов

поэтому, если мы хотим, чтобы наши точки были равноудалены, они должны лежать на спиральной траектории в эквидистантах (см. маркер # 2), но и сами винты должны иметь одинаковое расстояние между собой. Для этого мы можем использовать геометрические свойства гиперсферы. Давайте начнем с 2D:

так просто screws = r/d. Количество баллов также можно определить как points = area/d^2 = PI*r^2/d^2.

поэтому мы можем просто написать 2D спираль как:
```
t = <0.0,1.0>
a = 2.0*M_PI*screws*t;
x = r*t*cos(a);
y = r*t*sin(a);
```
Чтобы быть более простым, мы можем принять r=1.0, то есть d=d/r (и просто масштабировать точки позже). Тогда расширения (каждое измерение просто добавляет параметр угла) выглядят так:

2D:
```
screws=1.0/d;          // radius/d
points=M_PI/(d*d);     // surface_area/d^2
a = 2.0*M_PI*t*screws;
x = t*cos(a);
y = t*sin(a);
```
3D:
```
screws=M_PI/d;         // half_circumference/d
points=4.0*M_PI/(d*d); // surface_area/d^2
a=    M_PI*t;
b=2.0*M_PI*t*screws;
x=cos(a)       ;
y=sin(a)*cos(b);
z=sin(a)*sin(b);
```
4D:
```
screws = M_PI/d;
points = 3.0*M_PI*M_PI*M_PI/(4.0*d*d*d);
a=    M_PI*t;
b=    M_PI*t*screws;
c=2.0*M_PI*t*screws*screws;
x=cos(a)              ;
y=sin(a)*cos(b)       ;
z=sin(a)*sin(b)*cos(c);
w=sin(a)*sin(b)*sin(c);
```
Теперь остерегайтесь очков за 4D, это только мое предположение. Я эмпирически выяснил, что они относятся к constant/d^3, но не совсем. Винты разные для каждого угла. Мое предположение состоит в том, что нет другого масштаба, чем screws^i, но он может нуждаться в некоторой постоянной настройке (анализ результирующего облака точек не проводился, так как результат выглядит хорошо для меня)

Теперь мы можем сгенерировать любую точку на спирали из одного параметра t=<0.0,1.0>.

Обратите внимание, что если вы перевернете уравнение так, чтобы d=f(points) вы могли иметь точки в качестве входного значения, но будьте осторожны, его приблизительное количество точек не точное !!!
создать шаг по спирали, чтобы точки были равноудалены

В этой части я пропускаю алгебраический беспорядок и вместо этого использую примерку. Я просто бинарный поиск дельта t, поэтому результирующая точка d далека от предыдущей точки. Так что просто сгенерируйте точку t=0, а затем выполните бинарный поиск t около предполагаемой позиции, пока d не окажется далеко от начальной точки. Затем повторяйте это до t<=1.0...

Вы можете использовать бинарный поиск или что-нибудь еще. Я знаю, что это не так быстро, как алгебраический подход O(1), но нет необходимости извлекать материал для каждого измерения... Похоже, что для подгонки достаточно 10 итераций, поэтому он не такой медленный.

Вот реализация из моего 4D движка C++/GL/VCL:

void ND_mesh::set_HyperSpiral(int N,double r,double d)
    {
    int i,j;
    reset(N);
    d/=r;   // unit hyper-sphere
    double dd=d*d;  // d^2
    if (n==2)
        {
        // r=1,d=!,screws=?
        // S = PI*r^2
        // screws = r/d
        // points = S/d^2
        int i0,i;
        double a,da,t,dt,dtt;
        double x,y,x0,y0;
        double screws=1.0/d;
        double points=M_PI/(d*d);
        dbg=points;
        da=2.0*M_PI*screws;
        x0=0.0; pnt.add(x0);
        y0=0.0; pnt.add(y0);
        dt=0.1*(1.0/points);
        for (t=0.0,i0=0,i=1;;i0=i,i++)
            {
            for (dtt=dt,j=0;j<10;j++,dtt*=0.5)
                {
                t+=dtt;
                a=da*t;
                x=(t*cos(a))-x0; x*=x;
                y=(t*sin(a))-y0; y*=y;
                if ((!j)&&(x+y<dd)){ j--; t-=dtt; dtt*=4.0; continue; }
                if (x+y>dd) t-=dtt;
                }
            if (t>1.0) break;
            a=da*t;
            x0=t*cos(a); pnt.add(x0);
            y0=t*sin(a); pnt.add(y0);
            as2(i0,i);
            }
        }
    if (n==3)
        {
        // r=1,d=!,screws=?
        // S = 4*PI*r^2
        // screws = 2*PI*r/(2*d)
        // points = S/d^2
        int i0,i;
        double a,b,da,db,t,dt,dtt;
        double x,y,z,x0,y0,z0;
        double screws=M_PI/d;
        double points=4.0*M_PI/(d*d);
        dbg=points;
        da=    M_PI;
        db=2.0*M_PI*screws;
        x0=1.0; pnt.add(x0);
        y0=0.0; pnt.add(y0);
        z0=0.0; pnt.add(z0);
        dt=0.1*(1.0/points);
        for (t=0.0,i0=0,i=1;;i0=i,i++)
            {
            for (dtt=dt,j=0;j<10;j++,dtt*=0.5)
                {
                t+=dtt;
                a=da*t;
                b=db*t;
                x=cos(a)       -x0; x*=x;
                y=sin(a)*cos(b)-y0; y*=y;
                z=sin(a)*sin(b)-z0; z*=z;
                if ((!j)&&(x+y+z<dd)){ j--; t-=dtt; dtt*=4.0; continue; }
                if (x+y+z>dd) t-=dtt;
                }
            if (t>1.0) break;
            a=da*t;
            b=db*t;
            x0=cos(a)       ; pnt.add(x0);
            y0=sin(a)*cos(b); pnt.add(y0);
            z0=sin(a)*sin(b); pnt.add(z0);
            as2(i0,i);
            }
        }
    if (n==4)
        {
        // r=1,d=!,screws=?
        // S = 2*PI^2*r^3
        // screws = 2*PI*r/(2*d)
        // points = 3*PI^3/(4*d^3);
        int i0,i;
        double a,b,c,da,db,dc,t,dt,dtt;
        double x,y,z,w,x0,y0,z0,w0;
        double screws = M_PI/d;
        double points=3.0*M_PI*M_PI*M_PI/(4.0*d*d*d);
        dbg=points;
        da=    M_PI;
        db=    M_PI*screws;
        dc=2.0*M_PI*screws*screws;
        x0=1.0; pnt.add(x0);
        y0=0.0; pnt.add(y0);
        z0=0.0; pnt.add(z0);
        w0=0.0; pnt.add(w0);
        dt=0.1*(1.0/points);
        for (t=0.0,i0=0,i=1;;i0=i,i++)
            {
            for (dtt=dt,j=0;j<10;j++,dtt*=0.5)
                {
                t+=dtt;
                a=da*t;
                b=db*t;
                c=dc*t;
                x=cos(a)              -x0; x*=x;
                y=sin(a)*cos(b)       -y0; y*=y;
                z=sin(a)*sin(b)*cos(c)-z0; z*=z;
                w=sin(a)*sin(b)*sin(c)-w0; w*=w;
                if ((!j)&&(x+y+z+w<dd)){ j--; t-=dtt; dtt*=4.0; continue; }
                if (x+y+z+w>dd) t-=dtt;
                } dt=dtt;
            if (t>1.0) break;
            a=da*t;
            b=db*t;
            c=dc*t;
            x0=cos(a)              ; pnt.add(x0);
            y0=sin(a)*cos(b)       ; pnt.add(y0);
            z0=sin(a)*sin(b)*cos(c); pnt.add(z0);
            w0=sin(a)*sin(b)*sin(c); pnt.add(w0);
            as2(i0,i);
            }
        }

    for (i=0;i<pnt.num;i++) pnt.dat[i]*=r;
    for (i=0;i<s1.num;i++) s1.dat[i]*=n;
    for (i=0;i<s2.num;i++) s2.dat[i]*=n;
    for (i=0;i<s3.num;i++) s3.dat[i]*=n;
    for (i=0;i<s4.num;i++) s4.dat[i]*=n;
    }

Где n=N - установленная размерность, r - радиус, а d - желаемое расстояние между точками. Я использую много вещей, не заявленных здесь, но важно то, что pnt[] перечисляет список точек объекта, а as2(i0,i1) добавляет линию из точек по индексам i0,i1 в сетку.

Здесь несколько скриншотов...

3D перспектива:

4D перспектива:

4D сечение с гиперплоскостью w=0.0:

и то же самое с большим количеством точек и большим радиусом:

форма меняется с поворотами, в которых его анимированные...

[Edit1] больше кода/информации

Вот так выглядит мой класс сетки двигателя:

//---------------------------------------------------------------------------
//--- ND Mesh: ver 1.001 ----------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
#ifndef _ND_mesh_h
#define _ND_mesh_h
//---------------------------------------------------------------------------
#include "list.h"     // my dynamic list you can use std::vector<> instead
#include "nd_reper.h" // this is just 5x5 transform matrix
//---------------------------------------------------------------------------
enum _render_enum
    {
    _render_Wireframe=0,
    _render_Polygon,
    _render_enums
    };
const AnsiString _render_txt[]=
    {
    "Wireframe",
    "Polygon"
    };
enum _view_enum
    {
    _view_Orthographic=0,
    _view_Perspective,
    _view_CrossSection,
    _view_enums
    };
const AnsiString _view_txt[]=
    {
    "Orthographic",
    "Perspective",
    "Cross section"
    };
struct dim_reduction
    {
    int view;               // _view_enum
    double coordinate;      // cross section hyperplane coordinate or camera focal point looking in W+ direction
    double focal_length;
    dim_reduction()     { view=_view_Perspective; coordinate=-3.5; focal_length=2.0; }
    dim_reduction(dim_reduction& a) { *this=a; }
    ~dim_reduction()    {}
    dim_reduction* operator = (const dim_reduction *a) { *this=*a; return this; }
    //dim_reduction* operator = (const dim_reduction &a) { ...copy... return this; }
    };
//---------------------------------------------------------------------------
class ND_mesh
    {
public:
    int n;              // dimensions

    List<double> pnt;   // ND points        (x0,x1,x2,x3,...x(n-1))
    List<int>    s1;    // ND points        (i0)
    List<int>    s2;    // ND wireframe     (i0,i1)
    List<int>    s3;    // ND triangles     (i0,i1,i2,)
    List<int>    s4;    // ND tetrahedrons  (i0,i1,i2,i3)
    DWORD col;          // object color 0x00BBGGRR
    int   dbg;          // debug/test variable

    ND_mesh()   { reset(0); }
    ND_mesh(ND_mesh& a) { *this=a; }
    ~ND_mesh()  {}
    ND_mesh* operator = (const ND_mesh *a) { *this=*a; return this; }
    //ND_mesh* operator = (const ND_mesh &a) { ...copy... return this; }

    // add simplex
    void as1(int a0)                     { s1.add(a0); }
    void as2(int a0,int a1)              { s2.add(a0); s2.add(a1); }
    void as3(int a0,int a1,int a2)       { s3.add(a0); s3.add(a1); s3.add(a2); }
    void as4(int a0,int a1,int a2,int a3){ s4.add(a0); s4.add(a1); s4.add(a2); s4.add(a3); }
    // init ND mesh
    void reset(int N);
    void set_HyperTetrahedron(int N,double a);              // dimensions, side
    void set_HyperCube       (int N,double a);              // dimensions, side
    void set_HyperSphere     (int N,double r,int points);   // dimensions, radius, points per axis
    void set_HyperSpiral     (int N,double r,double d);     // dimensions, radius, distance between points
    // render
    void glDraw(ND_reper &rep,dim_reduction *cfg,int render);   // render mesh
    };
//---------------------------------------------------------------------------
#define _cube(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7) { as4(a1,a2,a4,a7); as4(a0,a1,a2,a4); as4(a2,a4,a6,a7); as4(a1,a2,a3,a7); as4(a1,a4,a5,a7); }
//---------------------------------------------------------------------------
void ND_mesh::reset(int N)
    {
    dbg=0;
    if (N>=0) n=N;
    pnt.num=0;
    s1.num=0;
    s2.num=0;
    s3.num=0;
    s4.num=0;
    col=0x00AAAAAA;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void ND_mesh::set_HyperSpiral(int N,double r,double d)
    {
    int i,j;
    reset(N);
    d/=r;   // unit hyper-sphere
    double dd=d*d;  // d^2
    if (n==2)
        {
        // r=1,d=!,screws=?
        // S = PI*r^2
        // screws = r/d
        // points = S/d^2
        int i0,i;
        double a,da,t,dt,dtt;
        double x,y,x0,y0;
        double screws=1.0/d;
        double points=M_PI/(d*d);
        dbg=points;
        da=2.0*M_PI*screws;
        x0=0.0; pnt.add(x0);
        y0=0.0; pnt.add(y0);
        dt=0.1*(1.0/points);
        for (t=0.0,i0=0,i=1;;i0=i,i++)
            {
            for (dtt=dt,j=0;j<10;j++,dtt*=0.5)
                {
                t+=dtt;
                a=da*t;
                x=(t*cos(a))-x0; x*=x;
                y=(t*sin(a))-y0; y*=y;
                if ((!j)&&(x+y<dd)){ j--; t-=dtt; dtt*=4.0; continue; }
                if (x+y>dd) t-=dtt;
                }
            if (t>1.0) break;
            a=da*t;
            x0=t*cos(a); pnt.add(x0);
            y0=t*sin(a); pnt.add(y0);
            as2(i0,i);
            }
        }
    if (n==3)
        {
        // r=1,d=!,screws=?
        // S = 4*PI*r^2
        // screws = 2*PI*r/(2*d)
        // points = S/d^2
        int i0,i;
        double a,b,da,db,t,dt,dtt;
        double x,y,z,x0,y0,z0;
        double screws=M_PI/d;
        double points=4.0*M_PI/(d*d);
        dbg=points;
        da=    M_PI;
        db=2.0*M_PI*screws;
        x0=1.0; pnt.add(x0);
        y0=0.0; pnt.add(y0);
        z0=0.0; pnt.add(z0);
        dt=0.1*(1.0/points);
        for (t=0.0,i0=0,i=1;;i0=i,i++)
            {
            for (dtt=dt,j=0;j<10;j++,dtt*=0.5)
                {
                t+=dtt;
                a=da*t;
                b=db*t;
                x=cos(a)       -x0; x*=x;
                y=sin(a)*cos(b)-y0; y*=y;
                z=sin(a)*sin(b)-z0; z*=z;
                if ((!j)&&(x+y+z<dd)){ j--; t-=dtt; dtt*=4.0; continue; }
                if (x+y+z>dd) t-=dtt;
                }
            if (t>1.0) break;
            a=da*t;
            b=db*t;
            x0=cos(a)       ; pnt.add(x0);
            y0=sin(a)*cos(b); pnt.add(y0);
            z0=sin(a)*sin(b); pnt.add(z0);
            as2(i0,i);
            }
        }
    if (n==4)
        {
        // r=1,d=!,screws=?
        // S = 2*PI^2*r^3
        // screws = 2*PI*r/(2*d)
        // points = 3*PI^3/(4*d^3);
        int i0,i;
        double a,b,c,da,db,dc,t,dt,dtt;
        double x,y,z,w,x0,y0,z0,w0;
        double screws = M_PI/d;
        double points=3.0*M_PI*M_PI*M_PI/(4.0*d*d*d);
        dbg=points;
        da=    M_PI;
        db=    M_PI*screws;
        dc=2.0*M_PI*screws*screws;
        x0=1.0; pnt.add(x0);
        y0=0.0; pnt.add(y0);
        z0=0.0; pnt.add(z0);
        w0=0.0; pnt.add(w0);
        dt=0.1*(1.0/points);
        for (t=0.0,i0=0,i=1;;i0=i,i++)
            {
            for (dtt=dt,j=0;j<10;j++,dtt*=0.5)
                {
                t+=dtt;
                a=da*t;
                b=db*t;
                c=dc*t;
                x=cos(a)              -x0; x*=x;
                y=sin(a)*cos(b)       -y0; y*=y;
                z=sin(a)*sin(b)*cos(c)-z0; z*=z;
                w=sin(a)*sin(b)*sin(c)-w0; w*=w;
                if ((!j)&&(x+y+z+w<dd)){ j--; t-=dtt; dtt*=4.0; continue; }
                if (x+y+z+w>dd) t-=dtt;
                } dt=dtt;
            if (t>1.0) break;
            a=da*t;
            b=db*t;
            c=dc*t;
            x0=cos(a)              ; pnt.add(x0);
            y0=sin(a)*cos(b)       ; pnt.add(y0);
            z0=sin(a)*sin(b)*cos(c); pnt.add(z0);
            w0=sin(a)*sin(b)*sin(c); pnt.add(w0);
            as2(i0,i);
            }
        }

    for (i=0;i<pnt.num;i++) pnt.dat[i]*=r;
    for (i=0;i<s1.num;i++) s1.dat[i]*=n;
    for (i=0;i<s2.num;i++) s2.dat[i]*=n;
    for (i=0;i<s3.num;i++) s3.dat[i]*=n;
    for (i=0;i<s4.num;i++) s4.dat[i]*=n;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void ND_mesh::glDraw(ND_reper &rep,dim_reduction *cfg,int render)
    {
    int N,i,j,i0,i1,i2,i3;
    const int n0=0,n1=n,n2=n+n,n3=n2+n,n4=n3+n;
    double a,b,w,F,*p0,*p1,*p2,*p3,_zero=1e-6;
    vector<4> v;
    List<double> tmp,t0;        // temp
    List<double> S1,S2,S3,S4;   // reduced simplexes
    #define _swap(aa,bb) { double *p=aa.dat; aa.dat=bb.dat; bb.dat=p; int q=aa.siz; aa.siz=bb.siz; bb.siz=q; q=aa.num; aa.num=bb.num; bb.num=q; }

    // apply transform matrix pnt -> tmp
    tmp.allocate(pnt.num); tmp.num=pnt.num;
    for (i=0;i<pnt.num;i+=n)
        {
        v.ld(0.0,0.0,0.0,0.0);
        for (j=0;j<n;j++) v.a[j]=pnt.dat[i+j];
        rep.l2g(v,v);
        for (j=0;j<n;j++) tmp.dat[i+j]=v.a[j];
        }
    // copy simplexes and convert point indexes to points (only due to cross section)
    S1.allocate(s1.num*n); S1.num=0; for (i=0;i<s1.num;i++) for (j=0;j<n;j++) S1.add(tmp.dat[s1.dat[i]+j]);
    S2.allocate(s2.num*n); S2.num=0; for (i=0;i<s2.num;i++) for (j=0;j<n;j++) S2.add(tmp.dat[s2.dat[i]+j]);
    S3.allocate(s3.num*n); S3.num=0; for (i=0;i<s3.num;i++) for (j=0;j<n;j++) S3.add(tmp.dat[s3.dat[i]+j]);
    S4.allocate(s4.num*n); S4.num=0; for (i=0;i<s4.num;i++) for (j=0;j<n;j++) S4.add(tmp.dat[s4.dat[i]+j]);

    // reduce dimensions
    for (N=n;N>2;)
        {
        N--;
        if (cfg[N].view==_view_Orthographic){}  // no change
        if (cfg[N].view==_view_Perspective)
            {
            w=cfg[N].coordinate;
            F=cfg[N].focal_length;
            for (i=0;i<S1.num;i+=n)
                {
                a=S1.dat[i+N]-w;
                if (a>=F) a=F/a; else a=0.0;
                for (j=0;j<n;j++) S1.dat[i+j]*=a;
                }
            for (i=0;i<S2.num;i+=n)
                {
                a=S2.dat[i+N]-w;
                if (a>=F) a=F/a; else a=0.0;
                for (j=0;j<n;j++) S2.dat[i+j]*=a;
                }
            for (i=0;i<S3.num;i+=n)
                {
                a=S3.dat[i+N]-w;
                if (a>=F) a=F/a; else a=0.0;
                for (j=0;j<n;j++) S3.dat[i+j]*=a;
                }
            for (i=0;i<S4.num;i+=n)
                {
                a=S4.dat[i+N]-w;
                if (a>=F) a=F/a; else a=0.0;
                for (j=0;j<n;j++) S4.dat[i+j]*=a;
                }
            }
        if (cfg[N].view==_view_CrossSection)
            {
            w=cfg[N].coordinate;
            _swap(S1,tmp); for (S1.num=0,i=0;i<tmp.num;i+=n1)               // points
                {
                p0=tmp.dat+i+n0;
                if (fabs(p0[N]-w)<=_zero)
                    {
                    for (j=0;j<n;j++) S1.add(p0[j]);
                    }
                }
            _swap(S2,tmp); for (S2.num=0,i=0;i<tmp.num;i+=n2)               // lines
                {
                p0=tmp.dat+i+n0;              a=p0[N];              b=p0[N];// a=min,b=max
                p1=tmp.dat+i+n1; if (a>p1[N]) a=p1[N]; if (b<p1[N]) b=p1[N];
                if (fabs(a-w)+fabs(b-w)<=_zero)                             // fully inside
                    {
                    for (j=0;j<n;j++) S2.add(p0[j]);
                    for (j=0;j<n;j++) S2.add(p1[j]);
                    continue;
                    }
                if ((a<=w)&&(b>=w))                                         // intersection -> points
                    {
                    a=(w-p0[N])/(p1[N]-p0[N]);
                    for (j=0;j<n;j++) S1.add(p0[j]+a*(p1[j]-p0[j]));
                    }
                }
            _swap(S3,tmp); for (S3.num=0,i=0;i<tmp.num;i+=n3)               // triangles
                {
                p0=tmp.dat+i+n0;              a=p0[N];              b=p0[N];// a=min,b=max
                p1=tmp.dat+i+n1; if (a>p1[N]) a=p1[N]; if (b<p1[N]) b=p1[N];
                p2=tmp.dat+i+n2; if (a>p2[N]) a=p2[N]; if (b<p2[N]) b=p2[N];
                if (fabs(a-w)+fabs(b-w)<=_zero)                             // fully inside
                    {
                    for (j=0;j<n;j++) S3.add(p0[j]);
                    for (j=0;j<n;j++) S3.add(p1[j]);
                    for (j=0;j<n;j++) S3.add(p2[j]);
                    continue;
                    }
                if ((a<=w)&&(b>=w))                                         // cross section -> t0
                    {
                    t0.num=0;
                    i0=0; if (p0[N]<w-_zero) i0=1; if (p0[N]>w+_zero) i0=2;
                    i1=0; if (p1[N]<w-_zero) i1=1; if (p1[N]>w+_zero) i1=2;
                    i2=0; if (p2[N]<w-_zero) i2=1; if (p2[N]>w+_zero) i2=2;
                    if (i0+i1==3){ a=(w-p0[N])/(p1[N]-p0[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p0[j]+a*(p1[j]-p0[j])); }
                    if (i1+i2==3){ a=(w-p1[N])/(p2[N]-p1[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p1[j]+a*(p2[j]-p1[j])); }
                    if (i2+i0==3){ a=(w-p2[N])/(p0[N]-p2[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p2[j]+a*(p0[j]-p2[j])); }
                    if (!i0) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p0[j]);
                    if (!i1) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p1[j]);
                    if (!i2) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p2[j]);
                    if (t0.num==n1) for (j=0;j<t0.num;j++) S1.add(t0.dat[j]);// copy t0 to target simplex based on points count
                    if (t0.num==n2) for (j=0;j<t0.num;j++) S2.add(t0.dat[j]);
                    if (t0.num==n3) for (j=0;j<t0.num;j++) S3.add(t0.dat[j]);
                    }
                }
            _swap(S4,tmp); for (S4.num=0,i=0;i<tmp.num;i+=n4)               // tetrahedrons
                {
                p0=tmp.dat+i+n0;              a=p0[N];              b=p0[N];// a=min,b=max
                p1=tmp.dat+i+n1; if (a>p1[N]) a=p1[N]; if (b<p1[N]) b=p1[N];
                p2=tmp.dat+i+n2; if (a>p2[N]) a=p2[N]; if (b<p2[N]) b=p2[N];
                p3=tmp.dat+i+n3; if (a>p3[N]) a=p3[N]; if (b<p3[N]) b=p3[N];
                if (fabs(a-w)+fabs(b-w)<=_zero)                             // fully inside
                    {
                    for (j=0;j<n;j++) S4.add(p0[j]);
                    for (j=0;j<n;j++) S4.add(p1[j]);
                    for (j=0;j<n;j++) S4.add(p2[j]);
                    for (j=0;j<n;j++) S4.add(p3[j]);
                    continue;
                    }
                if ((a<=w)&&(b>=w))                                         // cross section -> t0
                    {
                    t0.num=0;
                    i0=0; if (p0[N]<w-_zero) i0=1; if (p0[N]>w+_zero) i0=2;
                    i1=0; if (p1[N]<w-_zero) i1=1; if (p1[N]>w+_zero) i1=2;
                    i2=0; if (p2[N]<w-_zero) i2=1; if (p2[N]>w+_zero) i2=2;
                    i3=0; if (p3[N]<w-_zero) i3=1; if (p3[N]>w+_zero) i3=2;
                    if (i0+i1==3){ a=(w-p0[N])/(p1[N]-p0[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p0[j]+a*(p1[j]-p0[j])); }
                    if (i1+i2==3){ a=(w-p1[N])/(p2[N]-p1[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p1[j]+a*(p2[j]-p1[j])); }
                    if (i2+i0==3){ a=(w-p2[N])/(p0[N]-p2[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p2[j]+a*(p0[j]-p2[j])); }
                    if (i0+i3==3){ a=(w-p0[N])/(p3[N]-p0[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p0[j]+a*(p3[j]-p0[j])); }
                    if (i1+i3==3){ a=(w-p1[N])/(p3[N]-p1[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p1[j]+a*(p3[j]-p1[j])); }
                    if (i2+i3==3){ a=(w-p2[N])/(p3[N]-p2[N]); for (j=0;j<n;j++) t0.add(p2[j]+a*(p3[j]-p2[j])); }
                    if (!i0) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p0[j]);
                    if (!i1) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p1[j]);
                    if (!i2) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p2[j]);
                    if (!i3) for (j=0;j<n;j++) t0.add(p3[j]);
                    if (t0.num==n1) for (j=0;j<t0.num;j++) S1.add(t0.dat[j]);// copy t0 to target simplex based on points count
                    if (t0.num==n2) for (j=0;j<t0.num;j++) S2.add(t0.dat[j]);
                    if (t0.num==n3) for (j=0;j<t0.num;j++) S3.add(t0.dat[j]);
                    if (t0.num==n4) for (j=0;j<t0.num;j++) S4.add(t0.dat[j]);
                    }
                }
            }
        }
    glColor4ubv((BYTE*)(&col));
    if (render==_render_Wireframe)
        {
        // add points from higher primitives
        for (i=0;i<S2.num;i++) S1.add(S2.dat[i]);
        for (i=0;i<S3.num;i++) S1.add(S3.dat[i]);
        for (i=0;i<S4.num;i++) S1.add(S4.dat[i]);
        glPointSize(5.0);
        glBegin(GL_POINTS);
        glNormal3d(0.0,0.0,1.0);
        if (n==2) for (i=0;i<S1.num;i+=n1) glVertex2dv(S1.dat+i);
        if (n>=3) for (i=0;i<S1.num;i+=n1) glVertex3dv(S1.dat+i);
        glEnd();
        glPointSize(1.0);
        glBegin(GL_LINES);
        glNormal3d(0.0,0.0,1.0);
        if (n==2)
            {
            for (i=0;i<S2.num;i+=n1) glVertex2dv(S2.dat+i);
            for (i=0;i<S3.num;i+=n3)
                {
                glVertex2dv(S3.dat+i+n0); glVertex2dv(S3.dat+i+n1);
                glVertex2dv(S3.dat+i+n1); glVertex2dv(S3.dat+i+n2);
                glVertex2dv(S3.dat+i+n2); glVertex2dv(S3.dat+i+n0);
                }
            for (i=0;i<S4.num;i+=n4)
                {
                glVertex2dv(S4.dat+i+n0); glVertex2dv(S4.dat+i+n1);
                glVertex2dv(S4.dat+i+n1); glVertex2dv(S4.dat+i+n2);
                glVertex2dv(S4.dat+i+n2); glVertex2dv(S4.dat+i+n0);
                glVertex2dv(S4.dat+i+n0); glVertex2dv(S4.dat+i+n3);
                glVertex2dv(S4.dat+i+n1); glVertex2dv(S4.dat+i+n3);
                glVertex2dv(S4.dat+i+n2); glVertex2dv(S4.dat+i+n3);
                }
            }
        if (n>=3)
            {
            for (i=0;i<S2.num;i+=n1) glVertex3dv(S2.dat+i);
            for (i=0;i<S3.num;i+=n3)
                {
                glVertex3dv(S3.dat+i+n0); glVertex3dv(S3.dat+i+n1);
                glVertex3dv(S3.dat+i+n1); glVertex3dv(S3.dat+i+n2);
                glVertex3dv(S3.dat+i+n2); glVertex3dv(S3.dat+i+n0);
                }
            for (i=0;i<S4.num;i+=n4)
                {
                glVertex3dv(S4.dat+i+n0); glVertex3dv(S4.dat+i+n1);
                glVertex3dv(S4.dat+i+n1); glVertex3dv(S4.dat+i+n2);
                glVertex3dv(S4.dat+i+n2); glVertex3dv(S4.dat+i+n0);
                glVertex3dv(S4.dat+i+n0); glVertex3dv(S4.dat+i+n3);
                glVertex3dv(S4.dat+i+n1); glVertex3dv(S4.dat+i+n3);
                glVertex3dv(S4.dat+i+n2); glVertex3dv(S4.dat+i+n3);
                }
            }
        glEnd();
        }
    if (render==_render_Polygon)
        {
        double nor[3],a[3],b[3],q;
        #define _triangle2(ss,p0,p1,p2)                 \
            {                                           \
            glVertex2dv(ss.dat+i+p0);                   \
            glVertex2dv(ss.dat+i+p1);                   \
            glVertex2dv(ss.dat+i+p2);                   \
            }
        #define _triangle3(ss,p0,p1,p2)                 \
            {                                           \
            for(j=0;(j<3)&&(j<n);j++)                   \
                {                                       \
                a[j]=ss.dat[i+p1+j]-ss.dat[i+p0+j];     \
                b[j]=ss.dat[i+p2+j]-ss.dat[i+p1+j];     \
                }                                       \
            for(;j<3;j++){ a[j]=0.0; b[j]=0.0; }        \
            nor[0]=(a[1]*b[2])-(a[2]*b[1]);             \
            nor[1]=(a[2]*b[0])-(a[0]*b[2]);             \
            nor[2]=(a[0]*b[1])-(a[1]*b[0]);             \
            q=sqrt((nor[0]*nor[0])+(nor[1]*nor[1])+(nor[2]*nor[2]));    \
            if (q>1e-10) q=1.0/q; else q-0.0;           \
            for (j=0;j<3;j++) nor[j]*=q;                \
            glNormal3dv(nor);                           \
            glVertex3dv(ss.dat+i+p0);                   \
            glVertex3dv(ss.dat+i+p1);                   \
            glVertex3dv(ss.dat+i+p2);                   \
            }
        #define _triangle3b(ss,p0,p1,p2)                \
            {                                           \
            glNormal3dv(nor3.dat+(i/n));                \
            glVertex3dv(ss.dat+i+p0);                   \
            glVertex3dv(ss.dat+i+p1);                   \
            glVertex3dv(ss.dat+i+p2);                   \
            }
        glBegin(GL_TRIANGLES);
        if (n==2)
            {
            glNormal3d(0.0,0.0,1.0);
            for (i=0;i<S3.num;i+=n3) _triangle2(S3,n0,n1,n2);
            for (i=0;i<S4.num;i+=n4)
                {
                _triangle2(S4,n0,n1,n2);
                _triangle2(S4,n3,n0,n1);
                _triangle2(S4,n3,n1,n2);
                _triangle2(S4,n3,n2,n0);
                }
            }
        if (n>=3)
            {
            for (i=0;i<S3.num;i+=n3) _triangle3 (S3,n0,n1,n2);
            for (i=0;i<S4.num;i+=n4)
                {
                _triangle3(S4,n0,n1,n2);
                _triangle3(S4,n3,n0,n1);
                _triangle3(S4,n3,n1,n2);
                _triangle3(S4,n3,n2,n0);
                }
            glNormal3d(0.0,0.0,1.0);
            }
        glEnd();
        #undef _triangle2
        #undef _triangle3
        }
    #undef _swap
    }
//---------------------------------------------------------------------------
#undef _cube
//---------------------------------------------------------------------------
#endif
//---------------------------------------------------------------------------

Я использую мой шаблон динамического списка так:

List<double> xxx; совпадает с double xxx[];
xxx.add(5); добавляет 5 в конец списка
xxx[7] элемент массива доступа (безопасный)
xxx.dat[7] элемент массива доступа (небезопасный, но быстрый прямой доступ)
xxx.num - фактический используемый размер массива.
xxx.reset() очищает массив и устанавливает xxx.num=0
xxx.allocate(100) предварительно распределяет пространство для элементов 100

поэтому вам нужно перенести его в любой список, которым вы располагаете (например, std:vector<>). Я также использую матрицу преобразования 5x5, где

void ND_reper::g2l    (vector<4> &l,vector<4> &g);  // global xyzw -> local xyzw
void ND_reper::l2g    (vector<4> &g,vector<4> &l);  // global xyzw <- local xyzw

преобразование точки в глобальные или локальные координаты (путем умножения прямой или обратной матрицы на точку). Вы можете игнорировать его, так как он используется только один раз при рендеринге, и вы можете скопировать точки (без поворота)... В том же заголовке также есть некоторые константы:

const double pi   =    M_PI;
const double pi2  =2.0*M_PI;
const double pipol=0.5*M_PI;
const double deg=M_PI/180.0;
const double rad=180.0/M_PI;

Я получил также векторный и матричный математический шаблон, интегрированный в заголовок матрицы преобразования, поэтому vector<n> - это n-мерный вектор, а matrix<n> - это квадратная матрица n*n, но она используется только для рендеринга, так что вы снова можете игнорировать ее. Если вас заинтересовало несколько ссылок, из которых все это было получено:

Перечисления и сокращения размеров используются только для рендеринга. В cfg указано, как следует уменьшить каждый размер до 2D.

AnsiString - это самоперемещающаяся строка из VCL, поэтому используйте либо char*, либо класс строки, полученный в вашей среде. DWORD это просто беззнаковый 32-битный int. Надеюсь, я ничего не забыл...

Ответ 2

В качестве частичного ответа вы можете использовать метод Ньютона для вычисления обратного значения f. Использование x в качестве начальной точки в итерации Ньютона является хорошим выбором, поскольку f(x) никогда не находится на расстоянии более 1 единицы от x. Вот реализация Python:

import math

def f(x):
    return x + 0.5*math.sin(2*x)

def f_inv(x,tol = 1e-8):
    xn = x
    y = f(xn)
    while abs(y-x) > tol:
        xn -= (y-x)/(1+math.cos(2*xn))
        y = f(xn)
    return xn

Приятным фактом об этом применении метода Ньютона является то, что всякий раз, когда cos(2*x) = -1 (где у вас будет деление на 0), вы автоматически получаете sin(2*x) = 0 так что f(x) = x, В этом случае цикл while никогда не вводится, и f_inv просто возвращает исходный x.

Ответ 3

У нас есть n точек, которые являются P1,..., Pn. У нас есть номер измерения d. Каждая (i = 1, n) точка может быть представлена как:

Pi = (pi (x1),..., pi (xd))

Мы знаем это

D (Pi, 0) = 1 <=>

sqrt ((pi (x1) - pj (x1)) ^ 2 +... + (pi (xd) - pj (xd)) ^ 2) = 1

и минимальное расстояние между любыми точками, MD

MD <= D (Pi, Pj)

Решение является приемлемым, если и только если MD не может быть выше.

Если d = 2, то у нас есть круг, и мы ставим на него точки. Круг - это многоугольник со следующими свойствами:

у него n углов
n → бесконечность
каждая сторона имеет одинаковую длину

Таким образом, многоугольник из n углов, где n - конечное число и больше 2, также, каждая сторона имеет одинаковую длину, ближе к кругу каждый раз, когда мы увеличиваем n. Обратите внимание, что первый полигон в d = 2 является треугольником. У нас есть один угол, и наша минимальная угловая единица составляет 360 градусов /n.

Теперь, если у нас есть квадрат и мы равномерно распределяем по нему точки, то преобразование нашего квадрата в круг с помощью базового преобразования должно быть либо точным решением, либо очень близким к нему. Если это точное решение, то это простое решение для случая, когда d = 2. Если оно только очень близко, то с помощью приближения мы можем определить, какое решение находится в пределах заданной точности по вашему выбору.

Я бы использовал эту идею для случая, когда d = 3. Я бы решил задачу для куба, где задача намного проще, и использовал бы базовое преобразование для преобразования моих точек куба в мои точки сферы. И я бы использовал этот подход на d> 3, решив задачу для гиперкуба и преобразовав ее в гиперсферу. Используйте расстояние Манхэттена, когда вы равномерно распределите свои точки по гиперкубу d измерений.

Обратите внимание, что я не знаю, является ли решение для гиперкуба, преобразованного в гиперсферу, точным или близким к нему, но если это не точное решение, то мы можем повысить точность с приближением.

Таким образом, этот подход является решением проблемы, который не обязательно является лучшим подходом с точки зрения сложности времени, поэтому, если человек углубился в область решетки Фибоначчи и знает, как ее обобщить для большего числа измерений, то его/ее ответ может быть лучшим выбором для принятия, чем мой.

Инверсию f (x) = x - 0.5sin2x можно определить, если вы определили ряд Тейлора для f (x). Вы получите полиномиальный ряд x, который можно перевернуть.