Учитывая n окружностей с радиусами r1... rn, расположите их таким образом, чтобы никакие круги не перекрывались, а ограничивающая окружность имела "маленький" радиус.
Программа принимает список [r1, r2,... rn] в качестве входных данных и выводит центры окружностей.
- Я прошу "маленький", потому что "минимальный" радиус превращает его в гораздо более сложную задачу (минимальная версия уже доказана, что NP трудна/полная - см. сноску около конца вопроса). Нам не нужен минимум. Если форма, созданная кругами, кажется довольно круговой, это достаточно хорошо.
- Вы можете предположить, что Rmax/Rmin < 20, если это помогает.
- Низкий приоритет - программа должна иметь возможность обрабатывать более 2000 кругов. В начале, даже 100-200 кругов должно быть хорошо.
- Возможно, вы догадались, что круги не должны быть упакованы плотно или даже касаться друг друга.
Цель состоит в том, чтобы придумать визуально приятное расположение заданных кругов, которые могут вписаться в большой круг и не оставлять слишком много пустого пространства. (например, круги в контрольной картине слепоты цвета).
Вы можете использовать код Python ниже в качестве отправной точки (вам понадобится numpy и matplotlib для этого кода - "sudo apt-get install numpy matplotlib" в linux)...
import pylab
from matplotlib.patches import Circle
from random import gauss, randint
from colorsys import hsv_to_rgb
def plotCircles(circles):
# input is list of circles
# each circle is a tuple of the form (x, y, r)
ax = pylab.figure()
bx = pylab.gca()
rs = [x[2] for x in circles]
maxr = max(rs)
minr = min(rs)
hue = lambda inc: pow(float(inc - minr)/(1.02*(maxr - minr)), 3)
for circle in circles:
circ = Circle((circle[0], circle[1]), circle[2])
color = hsv_to_rgb(hue(circle[2]), 1, 1)
circ.set_color(color)
circ.set_edgecolor(color)
bx.add_patch(circ)
pylab.axis('scaled')
pylab.show()
def positionCircles(rn):
# You need rewrite this function
# As of now, this is a dummy function
# which positions the circles randomly
maxr = int(max(rn)/2)
numc = len(rn)
scale = int(pow(numc, 0.5))
maxr = scale*maxr
circles = [(randint(-maxr, maxr), randint(-maxr, maxr), r)
for r in rn]
return circles
if __name__ == '__main__':
minrad, maxrad = (3, 5)
numCircles = 400
rn = [((maxrad-minrad)*gauss(0,1) + minrad) for x in range(numCircles)]
circles = positionCircles(rn)
plotCircles(circles)
Добавленная информация: Алгоритм упаковки окружения, обычно упоминаемый в результатах поиска Google, не применим к этой проблеме.
Заявление о проблеме другого "алгоритма упаковки окружности" таково: Учитывая комплекс K (графики в этом контексте называются симплициальными комплексами, или сложными краткими) и соответствующими граничными условиями, вычисляют радиусы соответствующей упаковки окружности для K....
В основном он начинается с графика, указывающего, какие круги касаются друг друга (вершины графа обозначают круги, а ребра обозначают касание/касательную связь между кругами). Нужно найти радиусы и положения круга, чтобы удовлетворить трогательные отношения, обозначенные графиком.
Другая проблема имеет интересное наблюдение (независимо от этой проблемы):
Теорема об упаковке круга. Каждая упаковка окружности имеет соответствующий плоский граф (это простая/очевидная часть), и каждый плоский граф имеет соответствующую упаковку круга (не столь очевидную часть). Графики и упаковки являются дуальными друг от друга и уникальны.
У нас нет планарного графика или тангенциального отношения, чтобы начать с нашей проблемы.
Настоящая статья - Роберт Дж. Фаулер, Майк Патерсон, Стивен Л. Танимото: Оптимальная упаковка и покрытие на плоскости NP-Complete - доказывает, что минимальная версия этой проблемы NP-полная, Однако документ недоступен в Интернете (по крайней мере, нелегко).