Почему приложение `sequence` в List of Lists приводит к вычислению его декартова произведения?

Мой вопрос о функции sequence в Prelude, сигнатура которой такова:

sequence :: Monad m => [m a] -> m [a]

Я понимаю, как эта функция работает для List Maybe s. Например, применение sequence на [Just 3, Just 9] дает Just [3, 9].

Я заметил, что применение sequence на List of List дает его декартово произведение. Может кто-то, пожалуйста, помогите мне понять, как/почему это происходит?

Ответ 1

Это работает, потому что использование списков в качестве монадов в Haskell делает их модельным индетерминизмом. Рассмотрим:

sequence [[1,2],[3,4]]

По определению это то же самое, что:

do x <- [1,2]
   y <- [3,4]
   return [x,y]

Просто прочитайте его как "Первый выбор между 1 и 2, затем выбор между 3 и 4". Монада списка теперь будет накапливать все возможные результаты - отсюда ответ [[1,3],[1,4],[2,3],[2,4]].

(для еще более запутанного примера см. here)

Ответ 2

sequence действует так, как если бы он был определен следующим образом.

sequence [] = return []
sequence (m:ms) = do
    x <- m
    xs <- sequence ms
    return (x:xs)

(Или sequence = foldr (liftM2 (:)) (return []) но во всяком случае...)

Просто подумайте о том, что происходит, когда применяется к списку списков.

sequence [] = [[]]
sequence (list : lists) =
    [ x : xs
    | x <- list
    , xs <- sequence lists
    ]

Ответ 3

Просто чтобы объяснить, почему приложение последовательности в список списков настолько отличается от приложения последовательности к списку значений Maybe:

Когда вы применяете sequence к списку списков, то тип последовательности специализируется от

sequence :: Monad m => [m a] -> m [a]

to (с конструктором типа m, установленным в [])

sequence :: [[] a] -> [] [a]

(что совпадает с sequence :: [[a]] -> [[a]])

внутри, последовательность использует ( → =) - т.е. функцию монадического связывания. Для списков эта функция привязки реализована полностью иначе, чем для m, установленного в Maybe!