Параметризированные индуктивные типы в Агда

Я просто читаю зависимые типы в работе. Во введении к параметризованным типам автор упоминает, что в этой декларации

data List (A : Set) : Set where
  []   : List A
  _::_ : A → List A → List A

тип List равен Set → Set и что A становится неявным аргументом для обоих конструкторов, т.е.

[]   : {A : Set} → List A
_::_ : {A : Set} → A → List A → List A

Ну, я попытался переписать его несколько иначе

data List : Set → Set where
  []   : {A : Set} → List A
  _::_ : {A : Set} → A → List A → List A

который, к сожалению, не работает (я пытаюсь узнать Agda в течение двух дней или около того, но из того, что я собрал, потому что конструкторы параметризованы над Set₀ и поэтому List A должен быть в Set₁)..

В самом деле, принято следующее

data List : Set₀ → Set₁ where
  []   : {A : Set₀} → List A
  _::_ : {A : Set₀} → A → List A → List A

однако я больше не могу использовать {A : Set} → ... → List (List A) (что совершенно понятно).

Итак, мой вопрос: какова фактическая разница между List (A : Set) : Set и List : Set → Set?

Спасибо за ваше время!

Ответ 1

Я беру на себя смелость переименовывать типы данных. Первый, который индексированный на Set, будет называться ListI, а второй ListP, имеет Set как параметр:

data ListI : Set → Set₁ where
  []  : {A : Set} → ListI A
  _∷_ : {A : Set} → A → ListI A → ListI A

data ListP (A : Set) : Set where
  []  : ListP A
  _∷_ : A → ListP A → ListP A

В параметрах типов данных идет до двоеточия, а аргументы после двоеточие называются указателями. Конструкторы могут использоваться в одном и том же путь, вы можете применить неявный набор:

nilI : {A : Set} → ListI A
nilI {A} = [] {A}

nilP : {A : Set} → ListP A
nilP {A} = [] {A}

Разница возникает при сопоставлении с образцом. Для индексированной версии мы имеем:

null : {A : Set} → ListI A → Bool
null ([]  {A})     = true
null (_∷_ {A} _ _) = false

Это невозможно сделать для ListP:

-- does not work
null′ : {A : Set} → ListP A → Bool
null′ ([]  {A})     = true
null′ (_∷_ {A} _ _) = false

Сообщение об ошибке

The constructor [] expects 0 arguments, but has been given 1
when checking that the pattern [] {A} has type ListP A

ListP также может быть задан с помощью фиктивного модуля, поскольку ListD:

module Dummy (A : Set) where
  data ListD : Set where
    []  : ListD
    _∷_ : A → ListD → ListD

open Dummy public

Возможно, немного удивительно, ListD равно ListP. Мы не можем по аргументу Dummy:

-- does not work
null″ : {A : Set} → ListD A → Bool
null″ ([]  {A})     = true
null″ (_∷_ {A} _ _) = false

Это дает то же сообщение об ошибке, что и для ListP.

ListP является примером параметризованного типа данных, который проще чем ListI, что является индуктивным семейством: оно "зависит" от , хотя в этом примере тривиально.

Параметрированные типы данных определены на вики, а также здесь это небольшое введение.

Индуктивные семейства на самом деле не определены, но разработаны в вики с каноническим примером чего-то, что, по-видимому, нуждается в индуктивной семьи:

data Term (Γ : Ctx) : Type → Set where
  var : Var Γ τ → Term Γ τ
  app : Term Γ (σ → τ) → Term Γ σ → Term Γ τ
  lam : Term (Γ , σ) τ → Term Γ (σ → τ)

Без учета индекса типа упрощенная версия этого не может быть написанный с помощью Dummy -модуля из-за конструктора lam.

Еще одна хорошая рекомендация Индуктивная Семьи Питер Дыбьер с 1997 года.

Счастливое кодирование Агда!