Я хотел бы знать, существует ли более быстрый алгоритм, чем O (n) для определения, пересекает ли линия выпуклый многоугольник. Я знаю алгоритм, когда вы проверяете каждый край многоугольника, если он пересекается с линией, и посмотрите, является ли число пересечений нечетным или четным, я просто смотрю, существует ли более быстрое, например, сложность O (log n).
Спасибо
Ответ lhf близок к правильному. Вот версия, которая должна решить проблему с его помощью.
Пусть многоугольник имеет вершины v0, v1,..., vn против часовой стрелки. Пусть точки x0 и x1 находятся на прямой.
Обратите внимание на две вещи: во-первых, найти пересечение двух линий (и определить его существование) можно сделать в постоянное время. Во-вторых, определение того, находится ли точка слева или справа от линии, может выполняться в постоянное время.
Мы будем следовать той же базовой идее lhf, чтобы получить алгоритм O (log n). Базовые случаи - это когда многоугольник имеет 2 или 3 вершины. Они могут обрабатываться в постоянное время.
Определите, пересекает ли линия (v0, v (n/2)) линию (x0, x1).
Случай 1: они не пересекаются.
В этом случае интересующая нас линия находится либо слева, либо справа от линии, расщепляющей многоугольник, и поэтому мы можем записаться в эту половину многоугольника. В частности, если x0 находится слева от (v0, v (n/2)), то все вершины в правой "половине", {v0, v1,... v (n/2)} находятся на одной стороне (x0, x1), и поэтому мы знаем, что в этой "половине" многоугольника нет пересечения.
Случай 2: они пересекаются.
Этот случай немного сложнее, но мы все еще можем сузить пересечение до одной "половины" многоугольника в постоянное время. Есть 3 подсекции:
Случай 2.1: пересечение между точками v0 и v (n/2)
Мы закончили. Линия пересекает многоугольник.
Случай 2.2: пересечение ближе к v0 (т.е. вне многоугольника на стороне v0)
Определите, пересекает ли линия (x0, x1) с линией (v0, v1).
Если это не так, мы закончили, линия не пересекается с многоугольником.
Если это так, найдите пересечение, p. Если p справа от линии (v0, v (n/2)), то запишите в правую "половину" многоугольника, {v0, v1,..., v (n/2)}, иначе рекурсия влево "половина" {v0, v (n/2),... vn}.
Основная идея в этом случае состоит в том, что все точки многоугольника находятся в одной стороне линии (v0, v1). Если (x0, x1) расходится от (v0, v1) с одной стороны от его пересечения с (v0, v (n/2)). Мы знаем, что с этой стороны не может быть пересечения с многоугольником.
Случай 2.3: пересечение ближе к v (n/2)
Этот случай обрабатывается аналогично случаю 2.2, но с использованием соответствующего соседа v (n/2).
Мы закончили. Для каждого уровня это требует двух пересечений линий, проверки влево-вправо и определения, где точка находится на линии. Каждая рекурсия делит число вершин на 2 (технически делит их как минимум на 4/3). Итак, мы получаем время выполнения O (log n).
Я думаю, в этой статье дается четкое решение O (log n). Найдите крайности в направлении, перпендикулярном данной линии.
Ограничивающие поля могут оказаться полезными.
Напомним, что выпуклая часть аффинного пространства является пересечением всех ее гиперплоскостей огибающей: вы можете получить приближение вашего многоугольника (прочитайте "ограничивающий выпуклый многоугольник" ), рассмотрев только пересечение подмножества гиперплоскостей огибающей, проверьте пересечение вашей линии с этим приближением и уточните, если необходимо.
Все это работает лучше, если вы ожидаете небольшое количество пересечений.
Вам просто нужно найти точку A, расположенную на левой стороне линии, и другую точку, расположенную с правой стороны. Остается вопрос, как быстро найти точки.
возьмем случайные две точки A и B из выпуклого полигона.
если эти две самые удаленные точки находятся на другой стороне вашей линии, линия пересекает полигон, иначе это не будет
Кстати, вы также можете найти фактические точки пересечения в O (log n) тоже.