Я хотел бы взять модульную обратную матрицу, подобную [[1,2], [3,4]] mod 7 в Python. Я посмотрел на numpy (который инвертирует матрицу, но не модульную инверсию матрицы), и я видел несколько пакетов теории чисел в Интернете, но ничего похожего на эту относительно распространенную процедуру (по крайней мере, это кажется относительно общим для меня).
Кстати, обратная матрица выше [[5,1], [5,3]] (mod 7). Я бы хотел, чтобы Python сделал это для меня.
Хакинг-трюк, который работает при ошибках округления, не является проблемой:
Менее опасным способом является реализация гауссовой элиминации. Здесь мой код с использованием исключения Гаусса, который я написал для моих целей (ошибки округления были для меня проблемой). q - модуль, который не обязательно является простым.
def generalizedEuclidianAlgorithm(a, b):
if b > a:
return generalizedEuclidianAlgorithm(b,a);
elif b == 0:
return (1, 0);
else:
(x, y) = generalizedEuclidianAlgorithm(b, a % b);
return (y, x - (a / b) * y)
def inversemodp(a, p):
a = a % p
if (a == 0):
print "a is 0 mod p"
return None
if a > 1 and p % a == 0:
return None
(x,y) = generalizedEuclidianAlgorithm(p, a % p);
inv = y % p
assert (inv * a) % p == 1
return inv
def identitymatrix(n):
return [[long(x == y) for x in range(0, n)] for y in range(0, n)]
def inversematrix(matrix, q):
n = len(matrix)
A = np.matrix([[ matrix[j, i] for i in range(0,n)] for j in range(0, n)], dtype = long)
Ainv = np.matrix(identitymatrix(n), dtype = long)
for i in range(0, n):
factor = inversemodp(A[i,i], q)
if factor is None:
raise ValueError("TODO: deal with this case")
A[i] = A[i] * factor % q
Ainv[i] = Ainv[i] * factor % q
for j in range(0, n):
if (i != j):
factor = A[j, i]
A[j] = (A[j] - factor * A[i]) % q
Ainv[j] = (Ainv[j] - factor * Ainv[i]) % q
return Ainv
EDIT: как отмечают комментаторы, в некоторых случаях этот алгоритм терпит неудачу. Это немного нетривиально для исправления, и сейчас у меня нет времени. Тогда он работал для случайных матриц в моем случае (модули были продуктами больших простых чисел). В принципе, первая ненулевая запись может быть не взаимно простой с модулем. Простой случай легко, так как вы можете искать другую строку и своп. В случае, не относящемся к делу, я думаю, что все ведущие записи не являются относительно простыми, поэтому вы должны их комбинировать
Хорошо... для тех, кто заботится, я решил свою проблему. Мне потребовалось некоторое время, но я думаю, что это работает. Он, вероятно, не самый элегантный и должен включать в себя еще некоторую обработку ошибок, но он работает:
import numpy
import math
from numpy import matrix
from numpy import linalg
def modMatInv(A,p): # Finds the inverse of matrix A mod p
n=len(A)
A=matrix(A)
adj=numpy.zeros(shape=(n,n))
for i in range(0,n):
for j in range(0,n):
adj[i][j]=((-1)**(i+j)*int(round(linalg.det(minor(A,j,i)))))%p
return (modInv(int(round(linalg.det(A))),p)*adj)%p
def modInv(a,p): # Finds the inverse of a mod p, if it exists
for i in range(1,p):
if (i*a)%p==1:
return i
raise ValueError(str(a)+" has no inverse mod "+str(p))
def minor(A,i,j): # Return matrix A with the ith row and jth column deleted
A=numpy.array(A)
minor=numpy.zeros(shape=(len(A)-1,len(A)-1))
p=0
for s in range(0,len(minor)):
if p==i:
p=p+1
q=0
for t in range(0,len(minor)):
if q==j:
q=q+1
minor[s][t]=A[p][q]
q=q+1
p=p+1
return minor
Его можно вычислить с помощью Sage (www.sagemath.org) как
Матрица (IntegerModRing (7), [[1, 2], [3,4]]). inverse()
Хотя Sage огромный для установки, и вы должны использовать версию python, которая поставляется с ней, что является болью.
К сожалению, numpy не имеет модульных арифметических реализаций. Вы всегда можете кодировать предложенный алгоритм с помощью сокращения строк или детерминант, как показано здесь. Модульный обратный, по-видимому, весьма полезен для криптографии.
Этот маленький фрагмент кода, похоже, делает это: ссылка
Обратите внимание на приведенный ниже комментарий для небольшого улучшения. Насколько я вижу, кажется, что нужно сделать правильную линейную алгебру. Я никогда не встречал никаких опций в обычных пакетах, поэтому, возможно, самый простой способ получить фрагмент кода из Интернета (есть намного больше).