Я застрял в Project Euler проблема 338. Вот что я сделал до сих пор...
Обозначим прямоугольник с шириной и высотой x и y соответственно (x,y). Чтобы сформировать новые прямоугольники, вы можете рассмотреть возможность прорезания лестницы по диагонали (как показано в описании проблемы) с помощью d шагов. Но для формирования нового прямоугольника должно быть выполнено следующее: d|x и либо (d-1)|y, либо (d+1)|y. Новый прямоугольник затем станет либо (x/d*(d-1), y/(d-1)*d), либо (x/d*(d+1), y/(d+1)*d). Очевидно, что область новых прямоугольников такая же, как у старого прямоугольника.
Этого было достаточно, чтобы подтвердить, что G(10)=55 и G(1000)=971745 путем прокрутки всех соответствующих d и добавления всех новых прямоугольников в набор, чтобы быть уверенным, что они будут считать (x,y) и (y,x) только один раз.
Основная проблема с этим методом заключается в том, что можно создать новый прямоугольник двумя разными способами. Например, (9,8) может преобразовываться как в (6,12), так и в (12,6) с d=3 и либо d-1, либо d+1, делящем y. Или другой пример (4,4) преобразуется в (2,8) и (8,2) с d=2 и d=1 соответственно.
Мне посчастливилось прочитать этот пост в блоге. Это устраняет необходимость проверки дубликатов путем поиска одной из сторон.
def F(w, h):
if w&1 and h&1: return 0
if w<h: w,h = h,w
r = 0
x = 1
while x**2 <= w*h:
if (w*h)%x!=0 or x==h:
x += 1
continue
if w%(w-x)==0 or x%(x-h)==0:
r += 1
x += 1
return r
def G(N):
s = 0
for w in range(1, N+1):
for h in range(1, w+1):
s += F(w,h)
return s
G (10 12) потребовалось бы слишком долго, чтобы решить, независимо от того, насколько быстро F. Я думаю, что необходимо либо использовать какой-то алгоритм просеивания, где мы прокручиваем все x < 10 12 считая, сколько (w, h) удовлетворяют h <= w <= 10 12 x | (w * h), x!= H и ( wx) | w или (xh) | x.
Я думаю, что алгоритм O (n 2/3) должен быть возможен... но я застрял здесь!
Изменить. У меня нет доступа к форуму, так как я не могу его решить. Вот почему я прошу о помощи. Я выполнил большинство других вопросов и хочу решить этот вопрос сейчас!
Изменить 2. Я думаю, что рассмотрение областей с помощью простых факторов является тупиком. Это потому, что есть 10 24 разных областей. Прямоугольники с основными областями имеют 0 решений, прямоугольники с полупервыми областями имеют 1 решение, если один из простых чисел равен 2, в противном случае они имеют 0 решений. Но считать все полупростые решения в одиночку потребует слишком много времени, так как нам нужно будет пересчитать все простые числа р так, что 2 * p < 10 24 что невозможно.
Изменить 3: я удалил код:
def G(N):
s = 0
for x in range(1, N):
for h in range(1, N+1):
if x==h: continue
for w in range(max(h, x**2//h), N+1):
if (w*h)%x==0 and x%(w-x)==0 and x%(x-h)==0:
s -= 1
for x in range(1, N):
for h in range(1, N+1):
if x==h: continue
for w in range(max(h, x**2//h), N+1):
if (w*h)%x==0 and w%(w-x)==0:
s += 1
for x in range(1, N):
for h in range(1, N+1):
if x==h: continue
for w in range(max(h, x**2//h), N+1):
if (w*h)%x==0 and h%(x-h)==0:
s += 1
return s
Я не думаю, что нарушение кода грубой силы будет работать. Запомните это достаточно, чтобы просто считать решения (x, w, h) каждой из этих трех подзадач. Последнее такое суммирование должно иметь ограничения 0 < x < N, h < N + 1, x!= H, max (h, x 2/h) w < N + 1, x | wh и x-h | h.
Я думаю, что мы должны начать с предположения, что некоторые простые числа p делят x, w, h или даже x-h, а затем видят, что мы можем вывести о других переменных. Если это хорошо работает, возможно, рассмотрим p k для любого k.