Алгоритм динамического программирования во время интервью

Этот вопрос был задан мне в интервью, и он смущал мои недостатки в динамическом программировании. Я буду признателен, если кто-то может помочь мне взломать этот. Кроме того, было бы очень полезно для меня (и других), если вы сможете объяснить свой процесс мышления по пути, как вы разрабатываете решение, поскольку я, кажется, могу понять, когда вижу решение, которое использует динамическую парадигму программирования, но изо всех сил пытаться прийти с моим собственным.

Без лишнего шума, вот вопрос, на который меня спросили.

Задайте целое число i и установите X из k точек x1, x2,... xk на реальной строке, выберите i точки из набора X, чтобы минимизируйте сумму расстояния от каждой точки в X до точки в i с помощью динамического программирования.

ОТВЕТЫ

Ответ 1

С большинством проблем с DP я стараюсь найти своеобразное отношение сокращения и покорения. То есть отношение, благодаря которому я могу отрезать размер проблемы с каждым шагом (например, делить и побеждать, но обычно не делит проблему, он просто удаляет небольшую часть). В этой задаче (как и многие другие) мы можем сделать очень простое наблюдение: либо первая точка находится в наборе i точек, либо нет.

Некоторые обозначения: пусть говорят X = {x 1, x 2,..., x k} и обозначают приведенную set X n= {x n, x n + 1,..., x k}.

Таким образом, наблюдение заключается в том, что либо x 1 является одной из точек i, либо это не так. Позвоните в нашу функцию поиска i -set MSD (i, X k) (минимальная сумма расстояний). Мы можем выразить это наблюдение следующим образом:

MSD (i, X k) = либо MSD (i-1, X k-1)) U {x 1 } или MSD (i, X k-1)

Мы можем формализовать "или" часть, реализуя простой способ проверить, какой из этих двух вариантов он на самом деле: мы пробегаем множество X и вычисляем сумму расстояний и проверяем, что на самом деле меньше. Заметим, что эта проверка имеет время работы ki, так как мы наивно проедем через каждую из точек k и возьмем минимальное расстояние от точек в наборе размера i.

Мы делаем два простых наблюдения относительно базовых случаев:

MSD (i, X i) = X i
MSD (0, X n) = {}

Во-первых, при поиске i точек в наборе размера i мы, очевидно, просто возьмем весь набор.
Во-вторых, при поиске точек в наборе мы возвращаем пустой набор. Это индуктивно гарантирует, что MSD возвращает наборы размера i (это верно для случая, когда i=0 и по индукции истинно в соответствии с нашим определением MSD выше).

Что это. Это найдет подходящий набор. Сложность выполнения сверху ограничена O(ik * step), где шаг - это наша проверка O(ik) сверху. Это связано с тем, что MSD будет работать с параметрами, которые варьируются от 0-i и X 1 - X k, что является суммой ik возможных аргументов.

Это оставляет нам время выполнения O ((ik) 2).

Следующая часть основана на моем понимании вопроса ОП. Я не уверен, что расстояние каждой точки в X от подмножества i-размера является суммой расстояний каждой точки от каждой другой точки подмножества или суммой расстояний каждой точки в X от подмножества сама по себе.
То есть сигма x в X (сумма расстояний x от каждой точки подмножества) ИЛИ сигма x в X (расстояние x от подмножества, которое является минимальным расстоянием от x до любой точки в подмножестве)

Я предполагаю, что последний.

Мы можем сократить время выполнения, оптимизируя проверку O(ik) сверху. Мы замечаем, что элементы фактически отсортированы (хотя и в обратном порядке в этой текущей нотации), так как когда мы добавляем их, мы делаем это всегда с правой стороны. Предполагая, что они будут отсортированы для начала, они будут когда-то из рутинных MSD. Если они не были отсортированы для начала, мы можем сортировать их, что в любом случае будет стоить O(klogk).

После сортировки проверка расстояния каждой точки от точки в наборе будет k * logi, поскольку для каждой точки мы выполняем двоичный поиск. Это дает общее время работы O(ik * klogi + klogk)
= O (k 2 * ilogi).

Наконец, мы можем выразить это как O (k 3 logk). Не самое быстрое решение, но решение.

Я уверен, что есть еще больше оптимизаций, но мой 2c.