Быстрое разреженное матричное умножение

для класса я я должен написать свой собственный линейный решатель уравнений для разреженных матриц. Я могу использовать любой тип структуры данных для разреженных матриц, и мне нужно реализовать несколько решений, включая градиент сопряжения.

Мне было интересно, существует ли известный способ хранения разреженных матриц, так что умножение с вектором относительно быстро.

В настоящее время в моих разреженных матрицах в основном реализована завернутая std::map< std::pair<int, int>, double>, которая хранит данные, если они есть. Это преобразует умножение матрицы с векторной на сложность O (n²) на O (n²log (n)), поскольку я должен выполнять поиск для каждого элемента матрицы. Я просмотрел матричный формат Yale Sparse, и кажется, что поиск элемента также в O (log (n)), поэтому я не уверен, будет ли он намного быстрее.

Для справки у меня есть матрица 800x800, которая заполнена 5000 записей. Для такой системы требуется примерно до 450 секунд с помощью метода сопряженного градиента.

Считаете ли вы возможным сделать это намного быстрее с другой структурой данных?

спасибо!

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Наиболее распространенными являются хранилище CSC или CSR. Они эффективны для умножения матричных векторов. Также очень легко закодировать эти процедуры умножения, если вам нужно сделать это самостоятельно.

Тем не менее, хранение Йельского университета также дает очень эффективный множитель матрицы-вектора. Если вы выполняете поиск элементов матрицы, вы неправильно поняли, как использовать формат. Я предлагаю вам изучить некоторые из стандартных разреженных библиотек, чтобы узнать, как реализовано преобразование матриц-векторов.

Даже с вашим текущим хранилищем вы можете выполнять умножение матрицы в O (n) сложности. Все разреженные алгоритмы умножения матрицы-вектора, которые я когда-либо видел, сводятся к тем же самым шагам. Например, рассмотрим y = Ax.

  • Zeroise вектор результата, y.
  • Инициализировать итератор для ненулевых элементов матрицы, A.
  • Получить следующий ненулевой элемент матрицы, A [i, j]. Заметим, что шаблон i, j не соответствует регулярному шаблону. Он просто отражает порядок, в котором хранятся ненулевые элементы A.
  • y [i] + = A [i, j] * x [j]
  • Если есть больше элементов из A, goto 3.

Я подозреваю, что вы пишете классический двойной код для плотного кода цикла:

for (i=0; i<N; i++)
    for (j=0; j<N; j++)
        y[i] += A[i,j]*x[j]

и что побуждает вас выполнять поиск.

Но я не предлагаю, чтобы вы придерживались своего хранилища std::map. Это не будет суперэффективно. Я бы рекомендовал CSC главным образом потому, что он наиболее широко используется.