Установка выпуклого многоугольника в другой многоугольник

Я ищу алгоритм, где я могу проверить, входит ли выпуклый многоугольник (форма 1) в другой многоугольник (форма 2).

Мои первые исследования привели меня к "Упаковка неправильных форм". Это, на мой взгляд, немного переборщило. У меня есть только один контейнер и один объект.

Форма 1 обычно является выпуклым многоугольником. Форма 2 может быть выпуклой или вогнутой.

Мое приложение: у меня есть 3D-лазерный сканер для измерения бревен, который дает мне форму 2. У меня также есть разные профили резки, из которых я рассматриваю выпуклый корпус, придавая форму 1.

Теперь я хочу проверить, подходит ли профиль резки в моем лазерном профиле.

Ответ 1

Мотивация.. Если вы спросите, может ли диск B определенного радиуса вписаться в многоугольник P, тогда существует стандартный метод в вычислительная геометрия: проверьте, имеет ли максимальная вписанная окружность радиус не меньше; см. fooobar.com/questions/184860/...:

Вышеупомянутый алгоритм вычисления максимальной вписанной окружности довольно "прост": вычислите так называемую Обобщенную диаграмму Вороного и возьмите Voronoi node с наибольшим радиусом зазора. (Это только мотивация, просто продолжайте читать в течение минуты.)

В вашем случае ваша фигура 2 не является мячиком; ну, точнее, не эвклидовым шаром. Но на самом деле ваша фигура 2, как выпуклый многоугольник B, может определять функцию выпуклого расстояния и вычислять диаграмму Вороной в этой многогранной дистанционной функции , Но это более теоретический фон и, возможно, не то, что вы хотите реализовать для производственного кода.

Эти диаграммы Voronoi сильно связаны с вычислением кривых смещения, например, для строгания траектории инструмента при NC-механической обработке. См. Эту статью статью в блоге для обсуждения и следующий рисунок:

Шар B радиуса r вписывается в форму P тогда и только тогда, когда на расстоянии r имеется кривая смещения. (Фактически вы получаете набор всех действительных центров, а именно тех, которые находятся на кривой смещения в радиусе r.) И эти кривые смещения могут быть математически описаны как разница Минковского, как указано в статье в блоге.

Минковский-разница. Итак, теперь мы можем вернуться к вашей первоначальной проблеме. Выпускается ли выпуклый многоугольник B внутри многоугольника P? Оно выполняется тогда и только тогда, когда разность Минковского (P-B) является непустым множеством; в качестве примера можно использовать любой центр из (P-B).

Несколько деталей, основанных на приведенном выше рисунке: Обозначим через -B = {-v: v в B} форму B после точечного отражения. (Выберите источник где угодно, я обозначил его маленьким крестом с "o" для происхождения.) Теперь подумайте о -B как о форме пера (синий), и вы переместите перо (на самом деле крест) вдоль границы из P. Вы получаете серое пространство. (Это сумма Минковского границы P с -B.) Удалите серое пространство из P, и вы получите разницу Минковского P-B. Выберите любую точку внутри P-B и поместите туда копию B; он будет вписываться в P. Я поместил несколько копий (оранжевый) для вас.

Реализация. Вы можете построить серое пространство, рассматривая каждый сегмент s из P отдельно и соединяя его вдоль B. Точнее, вы помещаете копию -B на каждую конечную точку s и находите касательные двух копий -B, которые образуют границу серой области:

Возьмите решения на сегменты и вычислите объединение по всем сегментам P. Затем вычтите это объединение из P. Посмотрите Clipper для библиотеки с открытым исходным кодом, которая может сделать это для вас.

То, что вы получаете, - это не только логический ответ, если B вписывается в P, а множество всех действительных центров для B в виде множества полигонов. Возможно, это тоже интересно для вашего приложения.

Если вы также допускаете поворот B, то проблема становится значительно более сложной, я думаю. Возможно, вы можете работать с некоторой дискретизацией вращательных углов. Возможно, вы найдете какое-то решение в области планирования движения роботов и. связанный с проблемой проблемой пианино в вычислительной геометрии.

Ответ 2

Перспективы: вы должны иметь всю вершинную координату обоих (PolygonA, PolygonB) выпуклых многоугольников.

Шаг1. Поместите все точки обоих выпуклых многоугольников в один набор.
Шаг2: Найдите выпуклый многоугольник с использованием grahamscan с новым набором точек.
Шаг 3: Теперь у вас есть большой выпуклый многоугольник, который будет содержать оба выпуклых многоугольника. Это означает, что у вас есть вершина только что созданного многоугольника, назовите его PolygonC.

Шаг 4:

Теперь проверьте, совпадают ли polygonC и PolygonA с тем же набором вершинных точек
если да, значит PolygonA содержит PolygonB
Если вышеприведенное условие неверно, повторите ту же проверку с PolygonB

Если выше условие не верно для любого из Polygon, то ни один полигон не вставляется в другой многоугольник.

Graham Scan