Сортировка массива результатов

Мне задали этот вопрос в интервью Adobe:

У нас есть целочисленный массив, который сортируется в порядке возрастания. Мы также имеем 3 целых числа A, B и C. Нам нужно применить A*x*x + B*x + C для каждого элемента x в массиве и вернуть соответствующий отсортированный массив.

Пример I:

Input array = -1 0 1 2 3 4
A = -1, B = 2, C = -1`

Результат применения формулы к каждому элементу = -4 -1 0 -1 -4 -9
Итак, ожидаемый результат = -9 -4 -4 -1 -1 0 (отсортировано)

Мое лучшее решение заключалось в том, чтобы применить формулу и отсортировать ее в результате решения O(nlogn). Я не мог сделать это лучше.

Любое руководство по его улучшению полезно.

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Приведенное уравнение параболическое. Таким образом, результат применения его к отсортированному массиву приведет к массиву, который будет иметь максимальный/минимальный размер, если подмассивы будут отсортированы слева и справа.

В вашем случае максимум 0, а вспомогательный массив слева от него [-4 -1] сортируется в порядке возрастания, а подматрица справа [-1 -4 -9] сортируется в порядке убывания.

Все, что вам нужно сделать, это объединить эти отсортированные массивы, которые являются линейными по времени.

Итак, алгоритм:

  • Применить уравнение для каждого элемента
  • Найти максимум/минимум
  • Объединить подмассивы

Ответ 2

Вы можете сделать это в O(n). Найдите минимальное значение многочлена, которое возникает, когда

2 * A * x + B = 0

так что

x_min = -B / 2 * A.

Затем пройдите массив до тех пор, пока вы не найдете целое число, самое близкое к x_min. Это O(n). Отсюда последовательно выбирайте слева или справа от этого элемента в зависимости от того, меньше или меньше |x_min - left| меньше |x_min - right|. Верните значения оценки полинома в этих точках в полученном порядке. Это O(n).

Это предполагает, что A положительно. Вы можете обрабатывать случай отрицательного A аналогичным образом.

Пример:

input array = -1 0 1 2 3 4 A = -1, B = 2, C = -1

Здесь максимальное значение имеет значение x_max = -2 / 2 * -1 = 1. Из входного массива ближайшим значением является 1, третий элемент. Затем мы последовательно выбираем элементы в следующем порядке, исходя из их расстояния до 1.

1, 0, 2, -1, 3, 4

Тогда, поскольку A отрицательно, мы должны запустить их в обратном порядке

4, 3, -1, 2, 0, 1

и вычислить полином на них

-9, -4, -4, -1, -1, 0

Готово.

Заметим, что мы используем специальное свойство парабол. А именно, для x менее x_extreme и A положительное применение полинома к такому x является убывающей функцией от x. Для x больше, чем x_extreme и A положительное, применение полинома к такому x является возрастающей функцией x. (Подобное рассуждение применяется, если A отрицательно.) Таким образом, разделите массив на две части, те x меньше x_extreme, а те x больше, чем x_extreme. Затем примените полином к этим двум частям, чтобы в итоге были отсортированы два массива. Теперь примените слияние, отсортированное по этим сортированным массивам. Обратите внимание, что вышеприведенное описание эффективно представляет собой сортировку слияния.

Ответ 3

Вы можете признать, что результат применения квадратичного к данным почти отсортирован (как описано в ответах выше, или, признав, что производная полинома степени n непрерывна, степени n - 1 и имеет при большинство n нулей).

Итак, если у вас в вашей библиотеке есть процедура сортировки, которая делает что-то умное с почти отсортированными данными (например, слияние, которое это учитывает), вы можете просто выбросить на него данные и ожидать линейной производительности. Поиск в Интернете находит Какой алгоритм сортировки лучше всего работает в основном отсортированных данных? который указывает на http://svn.python.org/projects/python/trunk/Objects/listsort.txt.

Ответ 4

Решение O(N), и нет необходимости выполнять какое-либо исчисление, хотя оно помогает понять форму кривой.

Ответы выше делают самую интуитивную вещь и решают уравнение для нахождения минимума или максимума, а затем разбивают список.

Существует преимущество при вычислении первой производной, но на самом деле этого не нужно, и нам не нужно находить максимальную или минимальную точку в это время.

Просто знайте, что он может двигаться в одном направлении, а затем назад в другом направлении, но никогда не будет менять направление более одного раза.

Мы собираемся начинать с каждого конца и перебирать с обеих сторон, пока мы не сможем слиться где-нибудь посередине. Прежде чем мы сделаем что-нибудь еще, нам нужно проверить направление на каждом конце, которое мы будем делать, просто сравнивая два конца конца. Таким образом, мы видим, что один конец движется вверх, а другой вниз.

Если у нас есть элементы N, скажем, мы имеем данные X[0] и X[N-1], поэтому вычислим f(X[0]) и f(X[N-1]) и f(X[1]) и f(X[N-2]). Если f(X[0]) < f(X[1]) и f(X[N-1]) > f(X[N-2]), тогда фактически все наши данные являются одной стороной максимума/минимума и, следовательно, уже отсортированы. То же самое, если сравнения находятся в другом направлении. (В одном направлении может потребоваться обратное).

В противном случае просто выполните слияние с обоих концов, таким образом f(X[0]) и f(X[N-1]) будут либо максимумами, либо минимумами их поддиапазонов (мы знаем из предыдущих сравнений) и создаем объединенный список из того, что соответствует соответствующему направлению.

Применение к вашим данным:

-1 0 1 2 3 4
A = -1, B = 2, C = -1`

f = [ -4, -1, 0, -1, -4, -9 ]

-4 < -1 и -9 < -4, поэтому мы пересекаем точку и у нас есть минимумы на каждом конце.

-9 is lower than -4
-4 and -4 are equal so push both
-1 and -1 are equal so push both
0 remains.

our sequence is [-9, -4, -4, -1, -1, 0 ]