Для простой системы частиц, которую я создаю, мне нужно, учитывая эллипс с шириной и высотой, вычислить случайную точку X, Y, которая лежит в этом эллипсе.
Теперь я не лучший в математике, поэтому я хотел спросить здесь, может ли кто-нибудь указать мне в правильном направлении.
Возможно, правильный способ - выбрать случайный float в диапазоне ширины, взять его для X и из него рассчитать значение Y?
Создайте случайную точку внутри круга радиуса 1. Это можно сделать, взяв случайный угол phi в интервале [0, 2*pi) и случайное значение rho в интервале [0, 1) и вычислить
x = sqrt(rho) * cos(phi)
y = sqrt(rho) * sin(phi)
Квадратный корень в формуле обеспечивает равномерное распределение внутри круга.
Масштаб x и y к размерам эллипса
x = x * width/2.0
y = y * height/2.0
Используйте выборку отбраковки: выберите случайную точку в прямоугольнике вокруг эллипса. Проверьте, находится ли точка внутри эллипса, проверив знак (x-x0) ^ 2/a ^ 2 + (y-y0) ^ 2/b ^ 2-1. Повторяйте, если точка не внутри. (Это предполагает, что эллипс выровнен с координатными осями. Аналогичное решение работает в общем случае, но, конечно, сложнее).
Вы можете использовать преобразование координат с квадратом в декарте:
x = cos(angle) * radius
y = sin(angle) * radius
что небольшое изменение
x = cos(angle) * width
y = sin(angle) * height
Вы не указали какой-либо язык, но здесь приведена быстрая демонстрация с помощью Обработки:
float ellipseWidth = 150,ellipseHeight = 100;
float angle,radius,x,y;
void setup(){
size(400,400);
smooth();
noStroke();
ellipseMode(CENTER);
background(0);
fill(255);
}
void draw(){
//choose a random angle on the ellipse
angle = random(TWO_PI);
//convert from polar to cartesian, using both width and height as radii
x = cos(angle) * ellipseWidth;
y = sin(angle) * random(ellipseHeight);//random 'lengths' vertically
//draw
translate(200,200);//move to centre
ellipse(x,y,5,5);
}
Вы можете увидеть, как он запускает здесь
НТН
Я бы предложил очень простой метод:
Формула Bounds (любезность Википедии):
Можно создавать точки внутри эллипса без использования отбраковки выборки, тщательно учитывая ее определение в полярной форме. Из wikipedia полярная форма эллипса задается символом
Интуитивно говоря, мы должны чаще выбирать полярный угол θ, где радиус больше. Математически, наш PDF для случайной величины θ должен быть p (θ) dθ = dA/A, где dA - площадь одного сегмента под углом θ с шириной dθ. Используя уравнение для области полярного угла dA = 1/2 r 2 dθ, а площадь эллипса равна π a b, тогда PDF становится
Для случайного отбора из этого PDF-документа одним прямым методом является метод 
где u пробегает от 0 до 1. Итак, чтобы выбрать случайный угол θ, вы просто генерируете равномерное случайное число u между 0 и 1 и подставляете его в это уравнение для обратного CDF.
Чтобы получить случайный радиус, можно использовать тот же метод, который работает для круга (см., например, Создать случайную точку внутри круга (равномерно)).
Вот пример кода Python, который реализует этот алгоритм:
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
import random
# Returns theta in [-pi/2, 3pi/2]
def generate_theta(a, b):
u = random.random() / 4.0
theta = numpy.arctan(b/a * numpy.tan(2*numpy.pi*u))
v = random.random()
if v < 0.25:
return theta
elif v < 0.5:
return numpy.pi - theta
elif v < 0.75:
return numpy.pi + theta
else:
return -theta
def radius(a, b, theta):
return a * b / numpy.sqrt((b*numpy.cos(theta))**2 + (a*numpy.sin(theta))**2)
def random_point(a, b):
random_theta = generate_theta(a, b)
max_radius = radius(a, b, random_theta)
random_radius = max_radius * numpy.sqrt(random.random())
return numpy.array([
random_radius * numpy.cos(random_theta),
random_radius * numpy.sin(random_theta)
])
a = 2
b = 1
points = numpy.array([random_point(a, b) for _ in range(2000)])
plt.scatter(points[:,0], points[:,1])
plt.show()
