В этой главе описывается Галлина, язык спецификации Coq. Это позволяет разрабатывать математические теории и доказательства спецификаций программ. Теории строятся из аксиом, гипотез, параметров, лемм, теорем и определений констант, функций, предикатов и множеств. Синтаксис логических объектов, участвующих в теориях, описан в разделе 1.2. Язык команд, называемый The Vernacular, описан в разделе 1.3.