Мне известно, что сито Эратосфена может быть реализовано так, что оно обязательно найдет штрихи без верхней границы (сегментированное сито).
Мой вопрос в том, можно ли реализовать сито Аткина/Бернштейна таким же образом?
Связанный вопрос: С#: Как сделать Сито Аткина инкрементным
Однако у связанного вопроса есть только 1 ответ, в котором говорится: "Это невозможно для всех сит", что явно неверно.
Аткин/Бернштейн дают сегментированную версию в разделе 5 их оригинальной статьи . Предположительно, программа Bernstein primegen использует этот метод.
На самом деле можно реализовать неограниченное сито Аткина (SoA), не использующее сегментацию вообще, как я сделал здесь, в F #. Обратите внимание, что это чистая функциональная версия, которая даже не использует массивы для объединения решений квадратичных уравнений и фильтра без квадратов и, следовательно, значительно медленнее, чем более императивный подход.
Оптимизация Berstein с использованием таблиц поиска для оптимальных 32-битных диапазонов сделает код чрезвычайно сложным и не подходит для презентации здесь, но было бы довольно легко адаптировать мой код F #, чтобы последовательности начинались с заданного нижнего предела и используются только в диапазоне для реализации сегментированной версии и/или применения тех же методов к более императивному подходу с использованием массивов.
Обратите внимание, что даже реализация Berstein в SoA не намного быстрее, чем сито Eratosthenes со всеми возможными оптимизациями по Kim Walisch primesieve но только быстрее, чем эквивалентно оптимизированная версия сита эратосфенов для выбранного диапазона чисел в соответствии с его реализацией.
EDIT_ADD: Для тех, кто не хочет пробираться через псевдокод Berstein и код C, я добавляю к этому ответу, чтобы добавить метод псевдокода для использования SoA в диапазоне от LOW to HIGH, где дельта от LOW до HIGH + 1 может быть ограничена четным модулем 60, чтобы использовать модульную (и потенциальную битную упаковку только для записей на 2,3,5 колесах).
Это основано на возможной реализации с использованием квадратов SoA (4 * x ^ 2 + y ^), (3 * x ^ 2 + y ^ 2) и (3 * x ^ 2 -y ^ 2) выражаться в виде последовательностей чисел со значением x для каждой последовательности, фиксированной значениями между одним и SQRT ((HIGH - 1)/4), SQRT ((HIGH - 1)/3) и решением квадратичной для 2 * x ^ 2 + 2 * x - HIGH - 1 = 0 для x = (SQRT (1 + 2 * (HIGH + 1)) - 1)/2 соответственно, с последовательностями, выраженными в моем коде F # в соответствии с верхним звеном. Оптимизации для последовательностей, которые используются при просеивании только для нечетных композитов, для последовательностей "4x" значения y должны быть нечетными и что для последовательностей "3x" нужно использовать нечетные значения y, когда x четно, и наоборот. Дальнейшая оптимизация уменьшает число решений квадратичных уравнений (= элементов в последовательностях), наблюдая, что модульные шаблоны по вышеприведенным последовательностям повторяются в очень малых диапазонах х, а также повторяются по диапазонам y только 30, что используется в код Berstein, но еще не реализованный в моем коде F #.
Я также не включаю хорошо известные оптимизации, которые могут быть применены к простым "квадратам", отбраковывающим использование факторизации колес и вычислений для адреса начального сегмента, как я использую в мои реализации сегментированного SoE.
Итак, для целей вычисления последовательности начальных адресов сегмента для "4x" , "3x +" и "3x-" (или с "3x +" и "3x-" вместе, как и в коде F #), и вычислив диапазоны х для каждого, как указано выше, псевдокод выглядит следующим образом:
Рассчитайте диапазон LOW - FIRST_ELEMENT, где FIRST_ELEMENT имеет самое низкое применимое значение y для каждого заданного значения x или y = x - 1 для случая последовательности "3x-" .
Для вычисления количества элементов в этом диапазоне это сводится к вопросу о том, сколько из (y1) ^ 2 + (y2) ^ 2 + (y3) ^ 2... там где каждое число y разделено на два, чтобы получить четный или нечетный 'y по мере необходимости. Как обычно в анализе с квадратной последовательностью, мы видим, что различия между квадратами имеют постоянное возрастающее приращение, так как в дельта (9 - 1) составляет 8, дельта (25 - 9) - 16 при увеличении 8, дельта (49-25) 24 для дальнейшего увеличения 8 и т.д. так что для n элементов последний приращение для этого примера равен 8 * n. Выражая последовательность элементов, используя это, мы получаем, что это один (или любой другой, который выбирается как первый элемент) плюс восемь раз последовательность чего-то вроде (1 + 2 + 3 +... + n). Теперь применяется стандартное сокращение линейных последовательностей, где эта сумма равна (n + 1) * n/2 или n ^ 2/2 + n/2. Это мы можем решить для того, сколько n элементов есть в диапазоне, разрешив квадратное уравнение n ^ 2/2 + n/2 - range = 0 или n = (SQRT (8 * range + 1) - 1)/2.
Теперь, если FIRST_ELEMENT + 4 * (n + 1) * n не равно LOW в качестве начального адреса, добавьте одно к n и используйте FIRST_ELEMENT + 4 * (n + 2) * (n + 1) как начальный адрес. Если вы используете дальнейшую оптимизацию, чтобы применить факторизацию колес к шаблону последовательности, то поиск табличных массивов может быть использован для поиска ближайшего значения используемого n, удовлетворяющего условиям.
Модуль 12 или 60 исходного элемента может быть вычислен непосредственно или может быть получен с использованием таблиц поиска, основанных на повторяющемся характере последовательностей по модулю.
Каждая последовательность затем используется для переключения составных состояний до предела HIGH. Если дополнительная логика добавляется к последовательностям для перехода значений между только применимыми элементами на последовательность, дальнейшее использование условий модуляции не требуется.
Выше сделано для каждой последовательности "4x" , за которой следуют последовательности "3x +" и "3x-" (или объединяют "3x +" и "3x-" в один набор последовательностей "3x" ) вверх до пределов x, как было рассчитано ранее, или как проверено на каждый цикл.
И у вас есть это: с учетом соответствующего метода разделения диапазона сита на сегменты, который лучше всего использовать в качестве фиксированных размеров, которые связаны с размерами кеша процессора для лучшей эффективности доступа к памяти, метод сегментации SoA так же, как и используемый Бернштейном, но несколько более простой в выражении, поскольку он упоминает, но не сочетает операции с модулем и упаковку битов.