Вопрос об уловке Google

Ответ 1

Dijkstra получает красноречивое решение в "Дисциплине программирования". Он приписывает проблему Хэммину. Вот моя реализация решения Дейкстры.

int main()
{
    const int n = 20;       // Generate the first n numbers

    std::vector<int> v(n);
    v[0] = 1;

    int i2 = 0;             // Index for 2
    int i5 = 0;             // Index for 5

    int x2 = 2 * v[i2];     // Next two candidates
    int x5 = 5 * v[i5];

    for (int i = 1; i != n; ++i)
    {
        int m = std::min(x2, x5);
        std::cout << m << " ";
        v[i] = m;

        if (x2 == m)
        {
            ++i2;
            x2 = 2 * v[i2];
        }
        if (x5 == m)
        {
            ++i5;
            x5 = 5 * v[i5];
        }
    }

    std::cout << std::endl;
    return 0;
}

Ответ 2

вот более утонченный способ сделать это (более утонченный, чем мой предыдущий ответ, то есть):

представьте, что числа помещаются в матрицу:

     0    1    2    3    4    5   -- this is i
----------------------------------------------
0|   1    2    4    8   16   32
1|   5   10   20   40   80  160
2|  25   50  100  200  400  800
3| 125  250  500 1000 2000 ...
4| 625 1250 2500 5000 ...
j on the vertical

что вам нужно сделать, это "пропустить" эту матрицу, начиная с (0,0). Вам также нужно следить за тем, какие ваши возможные последующие шаги. Когда вы начинаете с (0,0), у вас есть только два варианта: либо (0,1), либо (1,0): поскольку значение (0,1) меньше, вы выбираете это. затем сделайте то же самое для своего следующего выбора (0,2) или (1,0). До сих пор у вас есть следующий список: 1, 2, 4. Следующий шаг (1,0), так как значение меньше (0,3). Однако у вас теперь есть три для вашего следующего хода: либо (0,3), либо (1,1), или (2,0).

Вам не нужна матрица для получения списка, но вам нужно отслеживать все ваши варианты (т.е. когда вы доберетесь до 125+, у вас будет 4 варианта).

Ответ 3

Используйте Min-кучу.

Поставьте 1.

Экстракт Мин. Скажем, вы получаете x.

Нажмите 2x и 5x в кучу.

Повторить.

Вместо хранения x = 2 ^ я * 5 ^ j вы можете сохранить (i, j) и использовать пользовательскую функцию сравнения.

Ответ 4

Решение на основе FIFO требует меньшего объема памяти. Код Python.

F = [[1, 0, 0]]             # FIFO [value, i, j]
i2 = -1; n2 = n5 = None     # indices, nexts
for i in range(1000):       # print the first 1000
    last = F[-1][:]
    print "%3d. %21d = 2^%d * 5^%d" % tuple([i] + last)
    if n2 <= last: i2 += 1; n2 = F[i2][:]; n2[0] *= 2; n2[1] += 1
    if n5 <= last: i2 -= 1; n5 = F.pop(0); n5[0] *= 5; n5[2] += 1
    F.append(min(n2, n5))

выход:

  0.                     1 = 2^0 * 5^0
  1.                     2 = 2^1 * 5^0
  2.                     4 = 2^2 * 5^0
 ...
998. 100000000000000000000 = 2^20 * 5^20
999. 102400000000000000000 = 2^27 * 5^17

Ответ 5

Это очень легко сделать O(n) в функциональных языках. Список l чисел 2^i*5^j может быть просто определен как 1, а затем 2*l и 5*l объединены. Вот как он выглядит в Haskell:

merge :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
merge (a:as) (b:bs)   
  | a < b   = a : (merge as (b:bs))
  | a == b  = a : (merge as bs)
  | b > a   = b : (merge (a:as) bs)

xs :: [Integer]
xs = 1 : merge (map(2*)xs) (map(5*)xs)

Функция merge дает вам новое значение в постоянное время. Таким образом, map и, следовательно, имеет значение l.

Ответ 6

Вы должны следить за отдельными показателями из них и каковы их суммы

поэтому вы начинаете с f(0,0) --> 1 теперь вам нужно увеличить один из них:

f(1,0) = 2
f(0,1) = 5

поэтому мы знаем, что 2 является следующим: мы также знаем, что мы можем увеличивать я экспоненту до тех пор, пока сумма не перейдет в 5.

Вы продолжаете идти туда и сюда так, пока не окажетесь в своем последнем раунде.

Ответ 7

Используя динамическое программирование, вы можете сделать это в O (n). Основополагающая истина состоит в том, что никакие значения я и j не могут дать нам 0, а для получения 1 оба значения должны быть равны 0;

TwoCount[1] = 0
FiveCount[1] = 0

// function returns two values i, and j
FindIJ(x) {
    if (TwoCount[x / 2]) {
        i = TwoCount[x / 2] + 1
        j = FiveCount[x / 2]
    }
    else if (FiveCount[x / 5]) {
        i = TwoCount[x / 2]
        j = FiveCount[x / 5] + 1
    }
}

Всякий раз, когда вы вызываете эту функцию, проверяйте, установлены ли я и j, если они не равны нулю, затем заполняйте TwoCount и FiveCount

Ответ на С++. Извините за плохой стиль кодирования, но я спешу: (

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>

int * TwoCount;
int * FiveCount;

using namespace std;

void FindIJ(int x, int &i, int &j) {
        if (x % 2 == 0 && TwoCount[x / 2] > -1) {
                cout << "There a solution for " << (x/2) << endl;
                i = TwoCount[x / 2] + 1;
                j = FiveCount[x / 2];
        } else if (x % 5 == 0 && TwoCount[x / 5] > -1) {
                cout << "There a solution for " << (x/5) << endl;
                i = TwoCount[x / 5];
                j = FiveCount[x / 5] + 1;
        }    
}

int main() {
        TwoCount = new int[200];
        FiveCount = new int[200];

        for (int i = 0; i < 200; ++i) {
                TwoCount[i] = -1;
                FiveCount[i] = -1;
        }

        TwoCount[1] = 0;
        FiveCount[1] = 0;

        for (int output = 2; output < 100; output++) {
                int i = -1;
                int j = -1;
                FindIJ(output, i, j);
                if (i > -1 && j > -1) {
                        cout << "2^" << i << " * " << "5^" 
                                     << j << " = " << output << endl;
                        TwoCount[output] = i;
                        FiveCount[output] = j;
                }
        }    
}

Очевидно, вы можете использовать структуры данных, отличные от массива, для динамического увеличения вашего хранилища и т.д. Это всего лишь эскиз, чтобы доказать, что он работает.

Ответ 8

Почему бы не попробовать смотреть на это с другого направления. Используйте счетчик, чтобы проверить возможные ответы на исходную формулу. Извините за псевдокод.

for x = 1 to n
{
  i=j=0
  y=x
  while ( y > 1 )
  {
    z=y
    if y divisible by 2 then increment i and divide y by 2
    if y divisible by 5 then increment j and divide y by 5

    if y=1 then print i,j & x  // done calculating for this x

    if z=y then exit while loop  // didn't divide anything this loop and this x is no good 
  }
}

Ответ 9

Это является соответствующей записью в OEIS.

Кажется, что можно получить упорядоченную последовательность, создав первые несколько членов, скажем,

1 2 4 5

а затем, начиная со второго члена, умножая на 4 и 5, чтобы получить следующие два

1 2 4 5 8 10

1 2 4 5 8 10 16 20

1 2 4 5 8 10 16 20 25

и т.д.

Интуитивно это кажется правильным, но, конечно, отсутствует доказательство.

Ответ 10

Вы знаете, что log_2 (5) = 2.32. Отсюда отметим, что 2 ^ 2 < 5 и 2 ^ 3 > 5.

Теперь найдите матрицу возможных ответов:

j/i  0   1   2   3   4   5
 0   1   2   4   8  16  32
 1   5  10  20  40  80 160 
 2  25  50 100 200 400 800
 3 125 250 500 ...

Теперь, для этого примера, выберите числа в порядке. Там будет порядок:

j/i  0   1   2   3   4   5
 0   1   2   3   5   7  10
 1   4   6   8  11  14  18
 2   9  12  15  19  23  27
 3  16  20  24...

Обратите внимание, что каждая строка запускает два столбца за начальную строку. Например, я = 0 j = 1 появляется непосредственно после я = 2 j = 0.

Таким образом, алгоритм, который мы можем извлечь из этого шаблона, (предположим j > i):

int i = 2;
int j = 5;
int k;
int m;

int space = (int)(log((float)j)/log((float)i));
for(k = 0; k < space*10; k++)
{
    for(m = 0; m < 10; m++)
    {
        int newi = k-space*m;
        if(newi < 0)
            break;
        else if(newi > 10)
            continue;
        int result = pow((float)i,newi) * pow((float)j,m);
        printf("%d^%d * %d^%d = %d\n", i, newi, j, m, result);
    }
}   

ПРИМЕЧАНИЕ. В приведенном здесь коде значения индексов я и j будут меньше 10. Вы можете легко расширить этот алгоритм, чтобы вписаться в любые другие произвольные границы.

ПРИМЕЧАНИЕ. Время работы для этого алгоритма - O (n) для первых n ответов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Сложность пространства для этого алгоритма O (1)

Ответ 11

Моя реализация основана на следующих идеях:

• Используйте две очереди Q2 и Q5, обе инициализированные с 1. Мы будем хранить обе очереди в отсортированном порядке.
• На каждом шаге вычеркните наименьший номер элемента MIN из Q2 или Q5 и распечатайте его. Если оба Q2 и Q5 имеют один и тот же элемент - удалите оба. Распечатайте этот номер. Это в основном слияние двух отсортированных массивов - на каждом шаге выберите наименьший элемент и продвигайтесь вперед.
• Enqueue MIN * 2 - Q2 и MIN * 5 - Q5. Это изменение не нарушает инвариант Q2/Q5, потому что MIN больше предыдущего MIN.

Пример:

Start with 1 and 1 (to handle i=0;j=0 case):
  Q2: 1
  Q5: 1
Dequeue 1, print it and enqueue 1*2 and 1*5:
  Q2: 2
  Q5: 5
Pick 2 and add 2*2 and 2*5:
  Q2: 4
  Q5: 5 10
Pick 4 and add 4*2 and 4*5:
  Q2: 8
  Q5: 5 10 20
....

Код в Java:

public void printNumbers(int n) {
    Queue<Integer> q2 = new LinkedList<Integer>();
    Queue<Integer> q5 = new LinkedList<Integer>();
    q2.add(1);
    q5.add(1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a = q2.peek();
        int b = q5.peek();
        int min = Math.min(a, b);
        System.out.println(min);
        if (min == a) {
            q2.remove();
        }
        if (min == b) {
            q5.remove();
        }
        q2.add(min * 2);
        q5.add(min * 5);
    }
}

Ответ 12

вычислить результаты и поместить их в отсортированный список вместе со значениями для i и j

Ответ 13

Алгоритм, реализованный пользователем515430 от Edsger Dijkstra (http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF), вероятно, так же быстро, как вы можете получить. Я вызываю каждое число, которое является формой 2^i * 5^j a "специального номера". Теперь ответ vlads будет O(i*j), но с двойным алгоритмом, один для генерации специальных чисел O(i*j) и один для их сортировки (согласно связанной статье также O(i*j).

Но пусть проверяет алгоритм Дейкстры (см. ниже). В этом случае n - количество специальных чисел, которые мы генерируем, равное i*j. Мы зацикливаемся один раз, 1 -> n, и в каждом цикле мы выполняем постоянное действие. Таким образом, этот алгоритм также O(i*j). И с довольно пылающей быстрой константой тоже.

Моя реализация в С++ с GMP (оболочка С++) и зависимость от boost::lexical_cast, хотя это можно легко удалить (я ленив, а кто не использует Boost?). Скомпилирован с g++ -O3 test.cpp -lgmpxx -o test. На Q6600 Ubuntu 10.10 time ./test 1000000 дает 1145ms.

#include <iostream>
#include <boost/lexical_cast.hpp>
#include <gmpxx.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
    mpz_class m, x2, x5, *array, r;
    long n, i, i2, i5;

    if (argc < 2) return 1;

    n = boost::lexical_cast<long>(argv[1]);

    array = new mpz_class[n];
    array[0] = 1;

    x2 = 2;
    x5 = 5;
    i2 = i5 = 0;

    for (i = 1; i != n; ++i) {
        m = std::min(x2, x5);

        array[i] = m;

        if (x2 == m) {
            ++i2;
            x2 = 2 * array[i2];
        }

        if (x5 == m) {
            ++i5;
            x5 = 5 * array[i5];
        }
    }

    delete [] array;
    std::cout << m << std::endl;

    return 0;
}

Ответ 14

Если вы нарисуете матрицу с я в качестве строки и j в качестве столбца, вы можете увидеть шаблон. Начните с я = 0, а затем просто пересечь матрицу, переместив 2 строки и правый 1 столбец, пока не достигнете вершины матрицы (j >= 0). Затем перейдите я + 1 и т.д.

Итак, для я = 7 вы путешествуете следующим образом:

7, 0 -> 5, 1 -> 3, 2 -> 1, 3

И для я = 8:

8, 0 -> 6, 1 -> 4, 2 -> 2, 3 -> 0, 4

Здесь он находится в Java, идущем до я = 9. Он печатает позицию матрицы (i, j) и значение.

for(int k = 0; k < 10; k++) {

    int j = 0;

    for(int i = k; i >= 0; i -= 2) {

        int value = (int)(Math.pow(2, i) * Math.pow(5, j));
        System.out.println(i + ", " + j + " -> " + value);
        j++;
    }
}

Ответ 15

Моя интуиция:

Если я беру начальное значение как 1, где я = 0, j = 0, то Я могу создать следующие числа как (2 ^ 1) (5 ^ 0), (2 ^ 2) (5 ^ 0), (2 ^ 0) * (5 ^ 1),... т.е. 2,4,5...

Скажем, в любой точке мое число равно x. то я могу создать следующие числа следующими способами:

• x * 2
• x * 4
• x * 5

Объяснение:

Since new numbers can only be the product with 2 or 5.
But 4 (pow(2,2)) is smaller than 5, and also we have to generate 
Numbers in sorted order.Therefore we will consider next numbers
be multiplied with 2,4,5.
Why we have taken x*4 ? Reason is to pace up i, such that it should not 
be greater than pace of j(which is 5 to power). It means I will 
multiply my number by 2, then by 4(since 4 < 5), and then by 5 
to get the next three numbers in sorted order.

Test Run

We need to take an Array-list of Integers, let say Arr.

Also put our elements in Array List<Integers> Arr.
Initially it contains Arr : [1]

• Давайте начнем с x = 1.

  Следующие три цифры: 1 * 2, 1 * 4, 1 * 5 [2,4,5]; Орг [1,2,4,5]

• Теперь x = 2

  Следующие три числа - [4,8,10] {Поскольку уже было 4, мы будем  игнорировать его} [8,10]; Arr [1,2,4,5,8,10]

• Теперь x = 4

  Следующие три числа [8,16,20] {8 уже произошли, игнорируют его} [16,20]  Орг [1,2,4,5,8,10,16,20]

• x = 5

  Следующие три числа [10,20,25] {10,20} уже так [25] добавлены  Орг [1,2,4,5,8,10,16,20,25]

Состояние завершения

 Terminating condition when Arr last number becomes greater 
 than (5^m1 * 2^m2), where m1,m2 are given by user.

Анализ

 Time Complexity : O(K) : where k is numbers possible between i,j=0 to 
 i=m1,j=m2.
 Space Complexity : O(K)

Ответ 16

Просто было любопытно, чего ожидать на следующей неделе и нашел этот вопрос.

Я думаю, идея 2 ^ я возрастает не в этих больших шагах, как 5 ^ j. Поэтому увеличьте я до тех пор, пока следующий j-шаг не будет больше.

Пример в С++ (Qt не является обязательным):

QFile f("out.txt"); //use output method of your choice here
f.open(QIODevice::WriteOnly);
QTextStream ts(&f);

int i=0;
int res=0;
for( int j=0; j<10; ++j )
{
    int powI = std::pow(2.0,i );
    int powJ = std::pow(5.0,j );
    while ( powI <= powJ  ) 
    {
        res = powI * powJ;
        if ( res<0 ) 
            break; //integer range overflow

        ts<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<res<<"\n";
        ++i;
        powI = std::pow(2.0,i );

    }
}

Выход:

i   j   2^i * 5^j
0   0   1
1   1   10
2   1   20
3   2   200
4   2   400
5   3   4000
6   3   8000
7   4   80000
8   4   160000
9   4   320000
10  5   3200000
11  5   6400000
12  6   64000000
13  6   128000000
14  7   1280000000

Ответ 17

Вот мое решение

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N_VALUE 5
#define M_VALUE  5

int n_val_at_m_level[M_VALUE];

int print_lower_level_val(long double val_of_higher_level, int m_level)
{
int  n;
long double my_val;


for( n = n_val_at_m_level[m_level]; n <= N_VALUE; n++) {
    my_val =  powl(2,n) * powl(5,m_level);
    if(m_level != M_VALUE && my_val > val_of_higher_level) {
        n_val_at_m_level[m_level] = n;
        return 0;
    }
    if( m_level != 0) {
        print_lower_level_val(my_val, m_level - 1);
    }
    if(my_val < val_of_higher_level || m_level == M_VALUE) {
        printf("    %Lf n=%d m = %d\n", my_val, n, m_level);
    } else {
        n_val_at_m_level[m_level] = n;
        return 0;
    }
 }
 n_val_at_m_level[m_level] = n;
 return 0;
 }


 main()
 {
    print_lower_level_val(0, M_VALUE); /* to sort 2^n * 5^m */
 }

Результат:

1.000000 n = 0 m = 0
2.000000 n = 1 m = 0
4.000000 n = 2 m = 0
5.000000 n = 0 m = 1
8.000000 n = 3 m = 0
10.000000 n = 1 m = 1
16.000000 n = 4 m = 0
20.000000 n = 2 m = 1
25.000000 n = 0 m = 2
32.000000 n = 5 m = 0
40.000000 n = 3 m = 1
50.000000 n = 1 m = 2
80.000000 n = 4 m = 1
100.000000 n = 2 m = 2
125.000000 n = 0 m = 3
160.000000 n = 5 m = 1
200.000000 n = 3 m = 2
250.000000 n = 1 m = 3
400.000000 n = 4 m = 2
500.000000 n = 2 m = 3
625.000000 n = 0 m = 4
800.000000 n = 5 m = 2
1000.000000 n = 3 m = 3
1250.000000 n = 1 m = 4
2000.000000 n = 4 m = 3
2500.000000 n = 2 m = 4
3125.000000 n = 0 m = 5
4000.000000 n = 5 m = 3
5000.000000 n = 3 m = 4
6250.000000 n = 1 m = 5
10000.000000 n = 4 m = 4
12500.000000 n = 2 m = 5
20000.000000 n = 5 m = 4
25000.000000 n = 3 m = 5
50000.000000 n = 4 m = 5
100000.000000 n = 5 m = 5

Ответ 18

Я знаю, что я, скорее всего, ошибаюсь, но здесь существует очень простая эвристика, поскольку она не включает в себя множество чисел, таких как 2,3,5. Мы знаем, что для любой i, j 2 ^ я * 5 ^ j следующая последовательность будет 2 ^ (i-2) * 5 ^ (j + 1). Будучи Google, у него должно быть простое решение.

def func(i, j):
 print i, j, (2**i)*(5**j)

imax=i=2
j=0
print "i", "j", "(2**i)*(5**j)"

for k in range(20):
    func(i,j)
    j=j+1; i=i-2
    if(i<0):
        i = imax = imax+1
        j=0

Это производит вывод как:

i j (2**i)*(5**j)
2 0 4
0 1 5
3 0 8
1 1 10
4 0 16
2 1 20
0 2 25
5 0 32
3 1 40
1 2 50
6 0 64
4 1 80
2 2 100
0 3 125
7 0 128
5 1 160
3 2 200
1 3 250
8 0 256
6 1 320

Ответ 19

Если вы переходите к тому, что действительно происходит, когда мы увеличиваем я или j в выражении 2^i * 5^j, вы либо умножаетесь на другое 2, либо другое. 5. Если мы повторно сформулируем проблему как заданное конкретное значение я и j, как бы вы нашли следующую большую ценность, решение становится очевидным.

Вот правила, которые мы можем интуитивно перечислить:

• Если в выражении есть пара 2s (i > 1), мы должны заменить их на 5, чтобы получить следующее наибольшее число. Таким образом, i -= 2 и j += 1.
• В противном случае, если есть 5 (j > 0), нам нужно заменить его тремя двумя. Итак j -= 1 и i += 3.
• В противном случае нам нужно просто поставить еще 2, чтобы увеличить значение на минимум. i += 1.

Здесь программа в Ruby:

i = j = 0                                                                       
20.times do                                                                     
  puts 2**i * 5**j

  if i > 1                                                                      
    j += 1                                                                      
    i -= 2                                                                      
  elsif j > 0                                                                   
    j -= 1                                                                      
    i += 3                                                                      
  else                                                                          
    i += 1                                                                      
  end                                                                                                                                                               
end

Ответ 20

Если нам разрешено использовать java Collection, мы можем иметь это число в O (n ^ 2)

public static void main(String[] args) throws Exception {
    int powerLimit = 7;  
     int first = 2;
     int second = 5;
    SortedSet<Integer> set = new TreeSet<Integer>();

    for (int i = 0; i < powerLimit; i++) {
        for (int j = 0; j < powerLimit; j++) {
            Integer x = (int) (Math.pow(first, i) * Math.pow(second, j));
            set.add(x);
        }
    }

    set=set.headSet((int)Math.pow(first, powerLimit));

    for (int p : set)
        System.out.println(p);
}

Здесь powerLimit должен быть инициализирован очень осторожно!! В зависимости от того, сколько цифр вы хотите.

Ответ 21

Вот моя попытка с Scala:

case class IndexValue(twosIndex: Int, fivesIndex: Int)
case class OutputValues(twos: Int, fives: Int, value: Int) {
  def test(): Boolean = {
    Math.pow(2,  twos) * Math.pow(5, fives) == value
  }
}

def run(last: IndexValue = IndexValue(0, 0), list: List[OutputValues] = List(OutputValues(0, 0, 1))): List[OutputValues] = {
  if (list.size > 20) {
    return list
  }

  val twosValue = list(last.twosIndex).value * 2
  val fivesValue = list(last.fivesIndex).value * 5

  if (twosValue == fivesValue) {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex + 1)
    val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  } else if (twosValue < fivesValue) {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex)
    val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.twosIndex).fives)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  } else {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex, last.fivesIndex + 1)
    val outputValues = OutputValues(value = fivesValue, twos = list(last.fivesIndex).twos, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  }
}

val initialIndex = IndexValue(0, 0)
run(initialIndex, List(OutputValues(0, 0, 1))) foreach println

Выход:

OutputValues(0,0,1)
OutputValues(1,0,2)
OutputValues(2,0,4)
OutputValues(0,1,5)
OutputValues(3,0,8)
OutputValues(1,1,10)
OutputValues(4,0,16)
OutputValues(2,1,20)
OutputValues(0,2,25)
OutputValues(5,0,32)
OutputValues(3,1,40)
OutputValues(1,2,50)
OutputValues(6,0,64)
OutputValues(4,1,80)
OutputValues(2,2,100)
OutputValues(0,3,125)
OutputValues(7,0,128)
OutputValues(5,1,160)
OutputValues(3,2,200)
OutputValues(1,3,250)
OutputValues(8,0,256)