У меня есть линия от A до B и окружность, расположенная на C с радиусом R.
Каков хороший алгоритм для проверки того, пересекает ли линия круг? И при какой координате вдоль края круга это произошло?
Алгоритм обнаружения столкновений в кольцевом сегменте?
Ответ 1
Принимая
- E является начальной точкой луча,
- L - конечная точка луча,
- C - это центр сферы, который вы тестируете против
- r - радиус этой сферы.
Compute:
d= L - E (вектор направления луча от начала и до конца)
f= E - C (вектор от центральной сферы до начала луча)
Тогда пересечение можно найти через...
Подключив:
P = E + t * d
Это параметрическое уравнение:
P x= E x + td x
P y= E y + td y
в
(x - h) 2 + (y - k) 2= r 2
(h, k) = центр круга.
Примечание. Мы упростили проблему для 2D здесь, решение, которое мы получаем, также применяется в 3D
, чтобы получить:
- Expand
x 2 - 2xh + h 2 + y 2 - 2yk + k 2 - r 2= 0 - Plug
x = e x + td x
y = e y + td y
(e x + td x) 2 - 2 (e x + td x) h + h 2 + (e y + td y) 2 - 2 (e y + td y) k + k 2 - r 2= 0 - Explode
e x 2 + 2e x td x + t 2 d x 2 - 2e x h - 2td x h + h 2 + e y 2 + 2e y td y + t 2 d y 2 - 2e y k - 2td y k + k 2 - r 2= 0 - Группа
t 2 (d x 2 + d y 2) + 2t (e x d x + e y d y - d x h - d y k) + e x 2 + e y 2 - 2e x h - 2e y k + h 2 + k 2 - r 2= 0 - Наконец,
t 2 (_d * _d) + 2t (_e * _d - _d * _c) + _e * _e - 2 (_e * _c) + _c * _c - r 2= 0
* Где _d - вектор d и * - точечный продукт. * - И затем
t 2 (_d * _d) + 2t (_d * (_e - _c)) + (_e - _c) * (_e - _c) - r 2= 0 - Сдача _f = _e - _c
t 2 (_d * _d) + 2t (_d * _f) + _f * _f - r 2= 0
Итак, мы получаем:
t 2 * (d DOT d) + 2t * (f DOT d) + (f DOT f - r 2) = 0
Поэтому решение квадратичного уравнения:
float a = d.Dot( d ) ;
float b = 2*f.Dot( d ) ;
float c = f.Dot( f ) - r*r ;
float discriminant = b*b-4*a*c;
if( discriminant < 0 )
{
// no intersection
}
else
{
// ray didn't totally miss sphere,
// so there is a solution to
// the equation.
discriminant = sqrt( discriminant );
// either solution may be on or off the ray so need to test both
// t1 is always the smaller value, because BOTH discriminant and
// a are nonnegative.
float t1 = (-b - discriminant)/(2*a);
float t2 = (-b + discriminant)/(2*a);
// 3x HIT cases:
// -o-> --|--> | | --|->
// Impale(t1 hit,t2 hit), Poke(t1 hit,t2>1), ExitWound(t1<0, t2 hit),
// 3x MISS cases:
// -> o o -> | -> |
// FallShort (t1>1,t2>1), Past (t1<0,t2<0), CompletelyInside(t1<0, t2>1)
if( t1 >= 0 && t1 <= 1 )
{
// t1 is the intersection, and it closer than t2
// (since t1 uses -b - discriminant)
// Impale, Poke
return true ;
}
// here t1 didn't intersect so we are either started
// inside the sphere or completely past it
if( t2 >= 0 && t2 <= 1 )
{
// ExitWound
return true ;
}
// no intn: FallShort, Past, CompletelyInside
return false ;
}
Ответ 2
Никто, кажется, не рассматривает проекцию, я здесь полностью отключен?
Проецируйте вектор AC на AB. Проецируемый вектор AD дает новую точку D.
Если расстояние между D и C меньше (или равно) R, мы имеем пересечение.
Вот так: 
Ответ 3
Я бы использовал алгоритм для вычисления расстояния между точкой (центр круга) и линией (линия AB). Затем это можно использовать для определения точек пересечения линии с окружностью.
Допустим, у нас есть точки A, B, C. Ax и Ay являются компонентами x и y точек A. То же самое для B и C. Скаляр R - радиус окружности.
Этот алгоритм требует, чтобы A, B и C были разными точками и чтобы R не было 0.
Вот алгоритм
// compute the euclidean distance between A and B
LAB = sqrt( (Bx-Ax)²+(By-Ay)² )
// compute the direction vector D from A to B
Dx = (Bx-Ax)/LAB
Dy = (By-Ay)/LAB
// the equation of the line AB is x = Dx*t + Ax, y = Dy*t + Ay with 0 <= t <= LAB.
// compute the distance between the points A and E, where
// E is the point of AB closest the circle center (Cx, Cy)
t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay)
// compute the coordinates of the point E
Ex = t*Dx+Ax
Ey = t*Dy+Ay
// compute the euclidean distance between E and C
LEC = sqrt((Ex-Cx)²+(Ey-Cy)²)
// test if the line intersects the circle
if( LEC < R )
{
// compute distance from t to circle intersection point
dt = sqrt( R² - LEC²)
// compute first intersection point
Fx = (t-dt)*Dx + Ax
Fy = (t-dt)*Dy + Ay
// compute second intersection point
Gx = (t+dt)*Dx + Ax
Gy = (t+dt)*Dy + Ay
}
// else test if the line is tangent to circle
else if( LEC == R )
// tangent point to circle is E
else
// line doesn't touch circle
Ответ 4
Хорошо, я не буду давать вам код, но так как вы отметили этот algorithm, я не думаю, что это будет иметь для вас значение. Во-первых, вы должны получить вектор, перпендикулярный линии.
У вас будет неизвестная переменная в y = ax + c ( c будет неизвестна )
Чтобы решить эту задачу, вычислите ее, когда линия проходит через центр круга.
То есть,
Подключите расположение центра окружности к линейному уравнению и решите для c.
Затем вычислите точку пересечения исходной линии и ее нормальную.
Это даст вам ближайшую точку на линии к кругу.
Вычислите расстояние между этой точкой и центром окружности (используя величину вектора).
Если это меньше радиуса круга - вуаля, мы имеем пересечение!
Ответ 5
Другой метод использует формулу треугольника ABC. Тест пересечения проще и эффективнее, чем метод проецирования, но для нахождения координат точки пересечения требуется больше работы. По крайней мере, он будет отложен до той степени, в которой это требуется.
Формула для вычисления площади треугольника: area = bh/2
где b - длина основания, h - высота. Мы выбрали отрезок AB базой, так что h - кратчайшее расстояние от центра окружности C до линии.
Так как область треугольника также может быть вычислена векторным точечным произведением, мы можем определить h.
// compute the triangle area times 2 (area = area2/2)
area2 = abs( (Bx-Ax)*(Cy-Ay) - (Cx-Ax)(By-Ay) )
// compute the AB segment length
LAB = sqrt( (Bx-Ax)² + (By-Ay)² )
// compute the triangle height
h = area2/LAB
// if the line intersects the circle
if( h < R )
{
...
}
ОБНОВЛЕНИЕ 1:
Вы можете оптимизировать код, используя быстрое вычисление обратного квадратного корня, описанное здесь, чтобы получить хорошее приближение 1/LAB.
Вычисление точки пересечения не так сложно. Здесь он идет
// compute the line AB direction vector components
Dx = (Bx-Ax)/LAB
Dy = (By-Ay)/LAB
// compute the distance from A toward B of closest point to C
t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay)
// t should be equal to sqrt( (Cx-Ax)² + (Cy-Ay)² - h² )
// compute the intersection point distance from t
dt = sqrt( R² - h² )
// compute first intersection point coordinate
Ex = Ax + (t-dt)*Dx
Ey = Ay + (t-dt)*Dy
// compute second intersection point coordinate
Fx = Ax + (t+dt)*Dx
Fy = Ay + (t+dt)*Dy
Если h = R, то прямая AB касается окружности и значение dt = 0 и E = F. Точечные координаты - это точки E и F.
Вы должны проверить, что A отличается от B, а длина сегмента не равна null, если это может произойти в вашем приложении.
Ответ 6
Я написал небольшой скрипт для проверки пересечения, проецируя центральную точку круга на линию.
vector distVector = centerPoint - projectedPoint;
if(distVector.length() < circle.radius)
{
double distance = circle.radius - distVector.length();
vector moveVector = distVector.normalize() * distance;
circle.move(moveVector);
}
http://jsfiddle.net/ercang/ornh3594/1/
Если вам нужно проверить коллизия с сегментом, вам также необходимо учитывать расстояние до центра круга для начальной и конечной точек.
vector distVector = centerPoint - startPoint;
if(distVector.length() < circle.radius)
{
double distance = circle.radius - distVector.length();
vector moveVector = distVector.normalize() * distance;
circle.move(moveVector);
}
Ответ 7
Это решение, которое я нашел, выглядело немного легче, чем некоторые другие.
Фото-:
p1 and p2 as the points for the line, and
c as the center point for the circle and r for the radius
Я решил бы для уравнения линии в форме уклона-перехвата. Однако я не хотел иметь дело с сложными уравнениями с c как точкой, поэтому я просто сдвинул систему координат так, чтобы круг находился в 0,0
p3 = p1 - c
p4 = p2 - c
Кстати, всякий раз, когда я вычитаю точки друг от друга, я вычитаю x, а затем вычитаю y и помещаю их в новую точку, на случай, если кто-то не знает.
В любом случае, теперь я решаю для уравнения линии с p3 и p4:
m = (p4_y - p3_y) / (p4_x - p3) (the underscore is an attempt at subscript)
y = mx + b
y - mx = b (just put in a point for x and y, and insert the m we found)
Ok. Теперь мне нужно установить эти уравнения равными. Сначала мне нужно решить уравнение круга для x
x^2 + y^2 = r^2
y^2 = r^2 - x^2
y = sqrt(r^2 - x^2)
Затем я установил их равными:
mx + b = sqrt(r^2 - x^2)
И решаем для квадратичного уравнения (0 = ax^2 + bx + c):
(mx + b)^2 = r^2 - x^2
(mx)^2 + 2mbx + b^2 = r^2 - x^2
0 = m^2 * x^2 + x^2 + 2mbx + b^2 - r^2
0 = (m^2 + 1) * x^2 + 2mbx + b^2 - r^2
Теперь у меня есть мои a, b и c.
a = m^2 + 1
b = 2mb
c = b^2 - r^2
Поэтому я помещал это в квадратичную формулу:
(-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
И замените значения на значения, а затем упростите как можно больше:
(-2mb ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
(-2mb ± sqrt((-2mb)^2 - 4(m^2 + 1)(b^2 - r^2))) / 2(m^2 + 1)
(-2mb ± sqrt(4m^2 * b^2 - 4(m^2 * b^2 - m^2 * r^2 + b^2 - r^2))) / 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4 * (m^2 * b^2 - (m^2 * b^2 - m^2 * r^2 + b^2 - r^2))))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4 * (m^2 * b^2 - m^2 * b^2 + m^2 * r^2 - b^2 + r^2)))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4 * (m^2 * r^2 - b^2 + r^2)))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4) * sqrt(m^2 * r^2 - b^2 + r^2))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± 2 * sqrt(m^2 * r^2 - b^2 + r^2))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± 2 * sqrt(m^2 * r^2 + r^2 - b^2))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± 2 * sqrt(r^2 * (m^2 + 1) - b^2))/ 2m^2 + 2
Это почти настолько, насколько это будет упрощено. Наконец, разделим на уравнения с ±:
(-2mb + 2 * sqrt(r^2 * (m^2 + 1) - b^2))/ 2m^2 + 2 or
(-2mb - 2 * sqrt(r^2 * (m^2 + 1) - b^2))/ 2m^2 + 2
Затем просто подключите результат обоих этих уравнений к x в mx + b. Для ясности я написал код JavaScript, чтобы показать, как это использовать:
function interceptOnCircle(p1,p2,c,r){
//p1 is the first line point
//p2 is the second line point
//c is the circle center
//r is the circle radius
var p3 = {x:p1.x - c.x, y:p1.y - c.y} //shifted line points
var p4 = {x:p2.x - c.x, y:p2.y - c.y}
var m = (p4.y - p3.y) / (p4.x - p3.x); //slope of the line
var b = p3.y - m * p3.x; //y-intercept of line
var underRadical = Math.pow((Math.pow(r,2)*(Math.pow(m,2)+1)),2)-Math.pow(b,2)); //the value under the square root sign
if (underRadical < 0){
//line completely missed
return false;
} else {
var t1 = (-2*m*b+2*Math.sqrt(underRadical))/(2 * Math.pow(m,2) + 2); //one of the intercept x's
var t2 = (-2*m*b-2*Math.sqrt(underRadical))/(2 * Math.pow(m,2) + 2); //other intercept x
var i1 = {x:t1,y:m*t1+b} //intercept point 1
var i2 = {x:t2,y:m*t2+b} //intercept point 2
return [i1,i2];
}
}
Надеюсь, это поможет!
P.S. Если кто-либо находит какие-либо ошибки или имеет какие-либо предложения, прокомментируйте. Я очень новый и приветствую всю помощь/предложения.
Ответ 8
Вы можете найти точку на бесконечной линии, ближайшей к центру окружности, проецируя вектор AC на вектор AB. Вычислите расстояние между этой точкой и центром круга. Если оно больше, то R не пересекается. Если расстояние равно R, то линия является касательной к окружности, а точка, ближайшая к центру окружности, фактически является точкой пересечения. Если расстояние меньше R, то есть 2 точки пересечения. Они лежат на том же расстоянии от точки, ближайшей к центру круга. Это расстояние можно легко вычислить, используя теорему Пифагора. Здесь алгоритм в псевдокоде:
{
dX = bX - aX;
dY = bY - aY;
if ((dX == 0) && (dY == 0))
{
// A and B are the same points, no way to calculate intersection
return;
}
dl = (dX * dX + dY * dY);
t = ((cX - aX) * dX + (cY - aY) * dY) / dl;
// point on a line nearest to circle center
nearestX = aX + t * dX;
nearestY = aY + t * dY;
dist = point_dist(nearestX, nearestY, cX, cY);
if (dist == R)
{
// line segment touches circle; one intersection point
iX = nearestX;
iY = nearestY;
if (t < 0 || t > 1)
{
// intersection point is not actually within line segment
}
}
else if (dist < R)
{
// two possible intersection points
dt = sqrt(R * R - dist * dist) / sqrt(dl);
// intersection point nearest to A
t1 = t - dt;
i1X = aX + t1 * dX;
i1Y = aY + t1 * dY;
if (t1 < 0 || t1 > 1)
{
// intersection point is not actually within line segment
}
// intersection point farthest from A
t2 = t + dt;
i2X = aX + t2 * dX;
i2Y = aY + t2 * dY;
if (t2 < 0 || t2 > 1)
{
// intersection point is not actually within line segment
}
}
else
{
// no intersection
}
}
EDIT: добавлен код, чтобы проверить, действительно ли найденные точки пересечения находятся в пределах сегмента линии.
Ответ 9
Странно могу ответить, но не комментировать... Мне понравился подход Multitaskpro, который переместил все, чтобы центр круга попал на начало координат. К сожалению, в его коде есть две проблемы. Сначала в части под квадратным корнем вам нужно удалить двойную мощность. Поэтому не:
var underRadical = Math.pow((Math.pow(r,2)*(Math.pow(m,2)+1)),2)-Math.pow(b,2));
а
var underRadical = Math.pow(r,2)*(Math.pow(m,2)+1)) - Math.pow(b,2);
В конечных координатах он забывает переложить решение обратно. Поэтому не:
var i1 = {x:t1,y:m*t1+b}
а
var i1 = {x:t1+c.x, y:m*t1+b+c.y};
Вся функция тогда становится:
function interceptOnCircle(p1, p2, c, r) {
//p1 is the first line point
//p2 is the second line point
//c is the circle center
//r is the circle radius
var p3 = {x:p1.x - c.x, y:p1.y - c.y}; //shifted line points
var p4 = {x:p2.x - c.x, y:p2.y - c.y};
var m = (p4.y - p3.y) / (p4.x - p3.x); //slope of the line
var b = p3.y - m * p3.x; //y-intercept of line
var underRadical = Math.pow(r,2)*Math.pow(m,2) + Math.pow(r,2) - Math.pow(b,2); //the value under the square root sign
if (underRadical < 0) {
//line completely missed
return false;
} else {
var t1 = (-m*b + Math.sqrt(underRadical))/(Math.pow(m,2) + 1); //one of the intercept x's
var t2 = (-m*b - Math.sqrt(underRadical))/(Math.pow(m,2) + 1); //other intercept x
var i1 = {x:t1+c.x, y:m*t1+b+c.y}; //intercept point 1
var i2 = {x:t2+c.x, y:m*t2+b+c.y}; //intercept point 2
return [i1, i2];
}
}
Ответ 10
Если вы находите расстояние между центром сферы (так как это 3D, я предполагаю, что вы имеете в виду сферу, а не круг) и линию, то проверьте, меньше ли это расстояние, чем радиус, который сделает трюк.
Точка столкновения, очевидно, является ближайшей точкой между линией и сферой (которая будет вычисляться при вычислении расстояния между сферой и линией)
Расстояние между точкой и строкой:
http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html
Ответ 11
Вам понадобится следующая математика:
Предположим, что A = (Xa, Ya), B = (Xb, Yb) и C = (Xc, Yc). Любая точка на линии от А до В имеет координаты (альфа * Ха + (1-альфа) Xb, alphaYa + (1-альфа) * Yb) = P
Если точка P имеет расстояние R до C, она должна быть на окружности. Вы хотите решить
distance(P, C) = R
то есть
(alpha*Xa + (1-alpha)*Xb)^2 + (alpha*Ya + (1-alpha)*Yb)^2 = R^2
alpha^2*Xa^2 + alpha^2*Xb^2 - 2*alpha*Xb^2 + Xb^2 + alpha^2*Ya^2 + alpha^2*Yb^2 - 2*alpha*Yb^2 + Yb^2=R^2
(Xa^2 + Xb^2 + Ya^2 + Yb^2)*alpha^2 - 2*(Xb^2 + Yb^2)*alpha + (Xb^2 + Yb^2 - R^2) = 0
если вы примените формулу ABC к этому уравнению для ее решения для альфы и вычислите координаты P, используя решение для альфы, вы получите точки пересечения, если они существуют.
Ответ 12
Вот реализация в Javascript. Мой подход состоит в том, чтобы сначала преобразовать сегмент линии в бесконечную линию, затем найти точку (точки) пересечения. Оттуда я проверяю, найдены ли найденные точки в сегменте линии. Код хорошо документирован, вы должны быть в состоянии следовать.
Вы можете попробовать здесь код живая демонстрация. Код был взят из моего алгоритмов репо.
// Small epsilon value
var EPS = 0.0000001;
// point (x, y)
function Point(x, y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
// Circle with center at (x,y) and radius r
function Circle(x, y, r) {
this.x = x;
this.y = y;
this.r = r;
}
// A line segment (x1, y1), (x2, y2)
function LineSegment(x1, y1, x2, y2) {
var d = Math.sqrt( (x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) );
if (d < EPS) throw 'A point is not a line segment';
this.x1 = x1; this.y1 = y1;
this.x2 = x2; this.y2 = y2;
}
// An infinite line defined as: ax + by = c
function Line(a, b, c) {
this.a = a; this.b = b; this.c = c;
// Normalize line for good measure
if (Math.abs(b) < EPS) {
c /= a; a = 1; b = 0;
} else {
a = (Math.abs(a) < EPS) ? 0 : a / b;
c /= b; b = 1;
}
}
// Given a line in standard form: ax + by = c and a circle with
// a center at (x,y) with radius r this method finds the intersection
// of the line and the circle (if any).
function circleLineIntersection(circle, line) {
var a = line.a, b = line.b, c = line.c;
var x = circle.x, y = circle.y, r = circle.r;
// Solve for the variable x with the formulas: ax + by = c (equation of line)
// and (x-X)^2 + (y-Y)^2 = r^2 (equation of circle where X,Y are known) and expand to obtain quadratic:
// (a^2 + b^2)x^2 + (2abY - 2ac + - 2b^2X)x + (b^2X^2 + b^2Y^2 - 2bcY + c^2 - b^2r^2) = 0
// Then use quadratic formula X = (-b +- sqrt(a^2 - 4ac))/2a to find the
// roots of the equation (if they exist) and this will tell us the intersection points
// In general a quadratic is written as: Ax^2 + Bx + C = 0
// (a^2 + b^2)x^2 + (2abY - 2ac + - 2b^2X)x + (b^2X^2 + b^2Y^2 - 2bcY + c^2 - b^2r^2) = 0
var A = a*a + b*b;
var B = 2*a*b*y - 2*a*c - 2*b*b*x;
var C = b*b*x*x + b*b*y*y - 2*b*c*y + c*c - b*b*r*r;
// Use quadratic formula x = (-b +- sqrt(a^2 - 4ac))/2a to find the
// roots of the equation (if they exist).
var D = B*B - 4*A*C;
var x1,y1,x2,y2;
// Handle vertical line case with b = 0
if (Math.abs(b) < EPS) {
// Line equation is ax + by = c, but b = 0, so x = c/a
x1 = c/a;
// No intersection
if (Math.abs(x-x1) > r) return [];
// Vertical line is tangent to circle
if (Math.abs((x1-r)-x) < EPS || Math.abs((x1+r)-x) < EPS)
return [new Point(x1, y)];
var dx = Math.abs(x1 - x);
var dy = Math.sqrt(r*r-dx*dx);
// Vertical line cuts through circle
return [
new Point(x1,y+dy),
new Point(x1,y-dy)
];
// Line is tangent to circle
} else if (Math.abs(D) < EPS) {
x1 = -B/(2*A);
y1 = (c - a*x1)/b;
return [new Point(x1,y1)];
// No intersection
} else if (D < 0) {
return [];
} else {
D = Math.sqrt(D);
x1 = (-B+D)/(2*A);
y1 = (c - a*x1)/b;
x2 = (-B-D)/(2*A);
y2 = (c - a*x2)/b;
return [
new Point(x1, y1),
new Point(x2, y2)
];
}
}
// Converts a line segment to a line in general form
function segmentToGeneralForm(x1,y1,x2,y2) {
var a = y1 - y2;
var b = x2 - x1;
var c = x2*y1 - x1*y2;
return new Line(a,b,c);
}
// Checks if a point 'pt' is inside the rect defined by (x1,y1), (x2,y2)
function pointInRectangle(pt,x1,y1,x2,y2) {
var x = Math.min(x1,x2), X = Math.max(x1,x2);
var y = Math.min(y1,y2), Y = Math.max(y1,y2);
return x - EPS <= pt.x && pt.x <= X + EPS &&
y - EPS <= pt.y && pt.y <= Y + EPS;
}
// Finds the intersection(s) of a line segment and a circle
function lineSegmentCircleIntersection(segment, circle) {
var x1 = segment.x1, y1 = segment.y1, x2 = segment.x2, y2 = segment.y2;
var line = segmentToGeneralForm(x1,y1,x2,y2);
var pts = circleLineIntersection(circle, line);
// No intersection
if (pts.length === 0) return [];
var pt1 = pts[0];
var includePt1 = pointInRectangle(pt1,x1,y1,x2,y2);
// Check for unique intersection
if (pts.length === 1) {
if (includePt1) return [pt1];
return [];
}
var pt2 = pts[1];
var includePt2 = pointInRectangle(pt2,x1,y1,x2,y2);
// Check for remaining intersections
if (includePt1 && includePt2) return [pt1, pt2];
if (includePt1) return [pt1];
if (includePt2) return [pt2];
return [];
}
Ответ 13
В этом столбе столбец будет проверяться расстояние между центром круга и точкой на линии (Ipoint), которые представляют точку пересечения между нормальным N (изображение 2) от центра круга до отрезка.
(/img/5f410535db0e50e7dc24d2d21a79495d.png) 
На изображении 1 показан один круг и одна строка, вектор A указывает на точку начала строки, вектор B указывает на конечную точку линии, вектор C - на центр круга. Теперь мы должны найти вектор E (от начальной точки линии до центра круга) и вектор D (от начальной точки линии до конечной точки линии), этот расчет показан на рисунке 1.
(/img/70584d0b3a289a422465d399422c2b61.png) 
На изображении 2 мы видим, что вектор E проецируется на вектор D "точечным произведением" вектора E и единичного вектора D, результатом точечного произведения является скаляр Xp, представляющий расстояние между начальной точкой начала и точкой пересечения (Ipoint) вектор N и вектор D. Следующий вектор X определяется путем умножения единичного вектора D и скаляра Xp.
Теперь нам нужно найти вектор Z (вектор в Ipoint), его простое его простое векторное сложение вектора A (начальная точка на линии) и вектор X. Далее нам нужно иметь дело с частными случаями, которые мы должны проверить, это Ipoint на сегменте линии, если его не следует выяснять, оставлено ли оно от него или справа от него, мы будем использовать ближайший вектор, чтобы определить, какая точка ближе всего к кругу.
(/img/bc18f335672c3a8c8283b667373d71ce.png) 
Когда проекция Xp отрицательна, то Ipoint остается от отрезка линии, ближайший вектор равен вектору начальной точки линии, когда проекция Xp больше, чем величина вектора D, тогда Ipoint справа от сегмента линии, тогда ближайший вектор равен вектору конца линии точка в любом другом случае ближайший вектор равен вектору Z.
Теперь, когда у нас есть ближайший вектор, нам нужно найти вектор от центра окружности к Ipoint (dist vector), его простое просто нужно вычесть ближайший вектор из центра вектора. Затем просто проверьте, меньше ли величина векторного расстояния, чем радиус круга, если она тогда сталкивается, если ее нет, нет столкновения.
(/img/5bf8feb6bf27ae00ebdc3dd66009dc91.png) 
Для завершения мы можем вернуть некоторые значения для разрешения столкновений, самый простой способ - вернуть перекрытие столкновения (вычесть радиус из векторной величины) и возвратную ось столкновения, его вектор D. Также точкой пересечения является вектор Z, если это необходимо.
Ответ 14
Если координаты линии - A.x, A.y и B.x, B.y и центр кругов - C.x, C.y, тогда формулы строк:
x = A.x * t + B.x * (1 - t)
y = A.y * t + B.y * (1 - t)
где 0 <= t <= 1
и круг
(C.x - x) ^ 2 + (C.y - y) ^ 2 = R ^ 2
если вы подставляете формулы x и y в формулу кругов, вы получаете уравнение второго порядка t, а его решения - точки пересечения (если они есть). Если вы получаете t, размер которого меньше 0 или больше 1, то это не решение, но оно показывает, что линия "указывает" на направление круга.
Ответ 15
Просто добавление к этой теме... Ниже приведена версия кода, отправленного pahlevan, но для С#/XNA и немного подобрана:
/// <summary>
/// Intersects a line and a circle.
/// </summary>
/// <param name="location">the location of the circle</param>
/// <param name="radius">the radius of the circle</param>
/// <param name="lineFrom">the starting point of the line</param>
/// <param name="lineTo">the ending point of the line</param>
/// <returns>true if the line and circle intersect each other</returns>
public static bool IntersectLineCircle(Vector2 location, float radius, Vector2 lineFrom, Vector2 lineTo)
{
float ab2, acab, h2;
Vector2 ac = location - lineFrom;
Vector2 ab = lineTo - lineFrom;
Vector2.Dot(ref ab, ref ab, out ab2);
Vector2.Dot(ref ac, ref ab, out acab);
float t = acab / ab2;
if (t < 0)
t = 0;
else if (t > 1)
t = 1;
Vector2 h = ((ab * t) + lineFrom) - location;
Vector2.Dot(ref h, ref h, out h2);
return (h2 <= (radius * radius));
}
Ответ 16
' VB.NET - Code
Function CheckLineSegmentCircleIntersection(x1 As Double, y1 As Double, x2 As Double, y2 As Double, xc As Double, yc As Double, r As Double) As Boolean
Static xd As Double = 0.0F
Static yd As Double = 0.0F
Static t As Double = 0.0F
Static d As Double = 0.0F
Static dx_2_1 As Double = 0.0F
Static dy_2_1 As Double = 0.0F
dx_2_1 = x2 - x1
dy_2_1 = y2 - y1
t = ((yc - y1) * dy_2_1 + (xc - x1) * dx_2_1) / (dy_2_1 * dy_2_1 + dx_2_1 * dx_2_1)
If 0 <= t And t <= 1 Then
xd = x1 + t * dx_2_1
yd = y1 + t * dy_2_1
d = Math.Sqrt((xd - xc) * (xd - xc) + (yd - yc) * (yd - yc))
Return d <= r
Else
d = Math.Sqrt((xc - x1) * (xc - x1) + (yc - y1) * (yc - y1))
If d <= r Then
Return True
Else
d = Math.Sqrt((xc - x2) * (xc - x2) + (yc - y2) * (yc - y2))
If d <= r Then
Return True
Else
Return False
End If
End If
End If
End Function
Ответ 17
Я создал эту функцию для iOS после ответа, заданного chmike
+ (NSArray *)intersectionPointsOfCircleWithCenter:(CGPoint)center withRadius:(float)radius toLinePoint1:(CGPoint)p1 andLinePoint2:(CGPoint)p2
{
NSMutableArray *intersectionPoints = [NSMutableArray array];
float Ax = p1.x;
float Ay = p1.y;
float Bx = p2.x;
float By = p2.y;
float Cx = center.x;
float Cy = center.y;
float R = radius;
// compute the euclidean distance between A and B
float LAB = sqrt( pow(Bx-Ax, 2)+pow(By-Ay, 2) );
// compute the direction vector D from A to B
float Dx = (Bx-Ax)/LAB;
float Dy = (By-Ay)/LAB;
// Now the line equation is x = Dx*t + Ax, y = Dy*t + Ay with 0 <= t <= 1.
// compute the value t of the closest point to the circle center (Cx, Cy)
float t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay);
// This is the projection of C on the line from A to B.
// compute the coordinates of the point E on line and closest to C
float Ex = t*Dx+Ax;
float Ey = t*Dy+Ay;
// compute the euclidean distance from E to C
float LEC = sqrt( pow(Ex-Cx, 2)+ pow(Ey-Cy, 2) );
// test if the line intersects the circle
if( LEC < R )
{
// compute distance from t to circle intersection point
float dt = sqrt( pow(R, 2) - pow(LEC,2) );
// compute first intersection point
float Fx = (t-dt)*Dx + Ax;
float Fy = (t-dt)*Dy + Ay;
// compute second intersection point
float Gx = (t+dt)*Dx + Ax;
float Gy = (t+dt)*Dy + Ay;
[intersectionPoints addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(Fx, Fy)]];
[intersectionPoints addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(Gx, Gy)]];
}
// else test if the line is tangent to circle
else if( LEC == R ) {
// tangent point to circle is E
[intersectionPoints addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(Ex, Ey)]];
}
else {
// line doesn't touch circle
}
return intersectionPoints;
}
Ответ 18
Эта Java-функция возвращает объект DVec2. Требуется DVec2 для центра круга, радиуса круга и строки.
public static DVec2 CircLine(DVec2 C, double r, Line line)
{
DVec2 A = line.p1;
DVec2 B = line.p2;
DVec2 P;
DVec2 AC = new DVec2( C );
AC.sub(A);
DVec2 AB = new DVec2( B );
AB.sub(A);
double ab2 = AB.dot(AB);
double acab = AC.dot(AB);
double t = acab / ab2;
if (t < 0.0)
t = 0.0;
else if (t > 1.0)
t = 1.0;
//P = A + t * AB;
P = new DVec2( AB );
P.mul( t );
P.add( A );
DVec2 H = new DVec2( P );
H.sub( C );
double h2 = H.dot(H);
double r2 = r * r;
if(h2 > r2)
return null;
else
return P;
}
Ответ 19
Другой в С# (класс частичного круга). Протестировано и работает как шарм.
public class Circle : IEquatable<Circle>
{
// ******************************************************************
// The center of a circle
private Point _center;
// The radius of a circle
private double _radius;
// ******************************************************************
/// <summary>
/// Find all intersections (0, 1, 2) of the circle with a line defined by its 2 points.
/// Using: http://math.stackexchange.com/questions/228841/how-do-i-calculate-the-intersections-of-a-straight-line-and-a-circle
/// Note: p is the Center.X and q is Center.Y
/// </summary>
/// <param name="linePoint1"></param>
/// <param name="linePoint2"></param>
/// <returns></returns>
public List<Point> GetIntersections(Point linePoint1, Point linePoint2)
{
List<Point> intersections = new List<Point>();
double dx = linePoint2.X - linePoint1.X;
if (dx.AboutEquals(0)) // Straight vertical line
{
if (linePoint1.X.AboutEquals(Center.X - Radius) || linePoint1.X.AboutEquals(Center.X + Radius))
{
Point pt = new Point(linePoint1.X, Center.Y);
intersections.Add(pt);
}
else if (linePoint1.X > Center.X - Radius && linePoint1.X < Center.X + Radius)
{
double x = linePoint1.X - Center.X;
Point pt = new Point(linePoint1.X, Center.Y + Math.Sqrt(Radius * Radius - (x * x)));
intersections.Add(pt);
pt = new Point(linePoint1.X, Center.Y - Math.Sqrt(Radius * Radius - (x * x)));
intersections.Add(pt);
}
return intersections;
}
// Line function (y = mx + b)
double dy = linePoint2.Y - linePoint1.Y;
double m = dy / dx;
double b = linePoint1.Y - m * linePoint1.X;
double A = m * m + 1;
double B = 2 * (m * b - m * _center.Y - Center.X);
double C = Center.X * Center.X + Center.Y * Center.Y - Radius * Radius - 2 * b * Center.Y + b * b;
double discriminant = B * B - 4 * A * C;
if (discriminant < 0)
{
return intersections; // there is no intersections
}
if (discriminant.AboutEquals(0)) // Tangeante (touch on 1 point only)
{
double x = -B / (2 * A);
double y = m * x + b;
intersections.Add(new Point(x, y));
}
else // Secant (touch on 2 points)
{
double x = (-B + Math.Sqrt(discriminant)) / (2 * A);
double y = m * x + b;
intersections.Add(new Point(x, y));
x = (-B - Math.Sqrt(discriminant)) / (2 * A);
y = m * x + b;
intersections.Add(new Point(x, y));
}
return intersections;
}
// ******************************************************************
// Get the center
[XmlElement("Center")]
public Point Center
{
get { return _center; }
set
{
_center = value;
}
}
// ******************************************************************
// Get the radius
[XmlElement]
public double Radius
{
get { return _radius; }
set { _radius = value; }
}
//// ******************************************************************
//[XmlArrayItemAttribute("DoublePoint")]
//public List<Point> Coordinates
//{
// get { return _coordinates; }
//}
// ******************************************************************
// Construct a circle without any specification
public Circle()
{
_center.X = 0;
_center.Y = 0;
_radius = 0;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle without any specification
public Circle(double radius)
{
_center.X = 0;
_center.Y = 0;
_radius = radius;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle with the specified circle
public Circle(Circle circle)
{
_center = circle._center;
_radius = circle._radius;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle with the specified center and radius
public Circle(Point center, double radius)
{
_center = center;
_radius = radius;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle based on one point
public Circle(Point center)
{
_center = center;
_radius = 0;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle based on two points
public Circle(Point p1, Point p2)
{
Circle2Points(p1, p2);
}
Требуется:
using System;
namespace Mathematic
{
public static class DoubleExtension
{
// ******************************************************************
// Base on Hans Passant Answer on:
// http://stackoverflow.com/questions/2411392/double-epsilon-for-equality-greater-than-less-than-less-than-or-equal-to-gre
/// <summary>
/// Compare two double taking in account the double precision potential error.
/// Take care: truncation errors accumulate on calculation. More you do, more you should increase the epsilon.
public static bool AboutEquals(this double value1, double value2)
{
if (double.IsPositiveInfinity(value1))
return double.IsPositiveInfinity(value2);
if (double.IsNegativeInfinity(value1))
return double.IsNegativeInfinity(value2);
if (double.IsNaN(value1))
return double.IsNaN(value2);
double epsilon = Math.Max(Math.Abs(value1), Math.Abs(value2)) * 1E-15;
return Math.Abs(value1 - value2) <= epsilon;
}
// ******************************************************************
// Base on Hans Passant Answer on:
// http://stackoverflow.com/questions/2411392/double-epsilon-for-equality-greater-than-less-than-less-than-or-equal-to-gre
/// <summary>
/// Compare two double taking in account the double precision potential error.
/// Take care: truncation errors accumulate on calculation. More you do, more you should increase the epsilon.
/// You get really better performance when you can determine the contextual epsilon first.
/// </summary>
/// <param name="value1"></param>
/// <param name="value2"></param>
/// <param name="precalculatedContextualEpsilon"></param>
/// <returns></returns>
public static bool AboutEquals(this double value1, double value2, double precalculatedContextualEpsilon)
{
if (double.IsPositiveInfinity(value1))
return double.IsPositiveInfinity(value2);
if (double.IsNegativeInfinity(value1))
return double.IsNegativeInfinity(value2);
if (double.IsNaN(value1))
return double.IsNaN(value2);
return Math.Abs(value1 - value2) <= precalculatedContextualEpsilon;
}
// ******************************************************************
public static double GetContextualEpsilon(this double biggestPossibleContextualValue)
{
return biggestPossibleContextualValue * 1E-15;
}
// ******************************************************************
/// <summary>
/// Mathlab equivalent
/// </summary>
/// <param name="dividend"></param>
/// <param name="divisor"></param>
/// <returns></returns>
public static double Mod(this double dividend, double divisor)
{
return dividend - System.Math.Floor(dividend / divisor) * divisor;
}
// ******************************************************************
}
}
Ответ 20
Вот хорошее решение в JavaScript (со всей необходимой математикой и живой иллюстрацией) https://bl.ocks.org/milkbread/11000965
Хотя функция is_on в этом решении нуждается в модификациях:
function is_on(a, b, c) {
return Math.abs(distance(a,c) + distance(c,b) - distance(a,b))<0.000001;
}Ответ 21
Круг - это действительно плохой парень. Поэтому хороший способ - избежать истинного круга, если можно. Если вы выполняете проверку на столкновение с играми, вы можете пойти с некоторыми упрощениями и иметь только 3 продукта с точками и несколько сравнений.
Я называю эту "жирную точку" или "тонкий круг". своего рода эллипс с нулевым радиусом в направлении, параллельном отрезку. но полный радиус в направлении, перпендикулярном сегменту
Во-первых, я бы подумал о переименовании и переключении системы координат, чтобы избежать чрезмерных данных:
s0s1 = B-A;
s0qp = C-A;
rSqr = r*r;
Во-вторых, индекс h в hvec2f означает, что вектор должен поддерживать горизонтальные операции, такие как dot()/det(). Это означает, что его компоненты должны быть помещены в отдельные регистры xmm, чтобы избежать перетасовки /hadd'ing/hsub'ing. И вот мы идем, с самой совершенной версией самого простого обнаружения столкновений для 2D-игры:
bool fat_point_collides_segment(const hvec2f& s0qp, const hvec2f& s0s1, const float& rSqr) {
auto a = dot(s0s1, s0s1);
//if( a != 0 ) // if you haven't zero-length segments omit this, as it would save you 1 _mm_comineq_ss() instruction and 1 memory fetch
{
auto b = dot(s0s1, s0qp);
auto t = b / a; // length of projection of s0qp onto s0s1
//std::cout << "t = " << t << "\n";
if ((t >= 0) && (t <= 1)) //
{
auto c = dot(s0qp, s0qp);
auto r2 = c - a * t * t;
return (r2 <= rSqr); // true if collides
}
}
return false;
}
Я сомневаюсь, что вы сможете его оптимизировать. Я использую его для обнаружения столкновений с автобизнесом на основе нейронной сети, для обработки миллионных шагов итерации.
Ответ 22
Вот решение, написанное в голанге. Метод похож на некоторые другие ответы, размещенные здесь, но не совсем то же самое. Он прост в применении и был протестирован. Вот шаги:
- Переведите координаты так, чтобы круг находился в начале координат.
- Выразите сегмент линии как параметризованные функции t для координат x и y. Если t равно 0, значения функции являются одной конечной точкой сегмента, а если t равно 1, значения функции являются другой конечной точкой.
- Решите, если возможно, квадратичное уравнение, полученное из ограничений значений t, которые создают координаты x, y с расстояниями от начала координат, равными радиусу окружности.
- Выбросьте решения, где t - <0 или> 1 (<= 0 или> = 1 для открытого сегмента). Эти точки не содержатся в сегменте.
- Верните исходные координаты.
Здесь выводятся значения для A, B и C для квадратичных чисел, где (n-et) и (m-dt) - уравнения для координат линий x и y соответственно. г - радиус окружности.
(n-et)(n-et) + (m-dt)(m-dt) = rr
nn - 2etn + etet + mm - 2mdt + dtdt = rr
(ee+dd)tt - 2(en + dm)t + nn + mm - rr = 0
Поэтому A = ee + dd, B = - 2 (en + dm) и C = nn + mm - rr.
Вот код golang для функции:
package geom
import (
"math"
)
// SegmentCircleIntersection return points of intersection between a circle and
// a line segment. The Boolean intersects returns true if one or
// more solutions exist. If only one solution exists,
// x1 == x2 and y1 == y2.
// s1x and s1y are coordinates for one end point of the segment, and
// s2x and s2y are coordinates for the other end of the segment.
// cx and cy are the coordinates of the center of the circle and
// r is the radius of the circle.
func SegmentCircleIntersection(s1x, s1y, s2x, s2y, cx, cy, r float64) (x1, y1, x2, y2 float64, intersects bool) {
// (n-et) and (m-dt) are expressions for the x and y coordinates
// of a parameterized line in coordinates whose origin is the
// center of the circle.
// When t = 0, (n-et) == s1x - cx and (m-dt) == s1y - cy
// When t = 1, (n-et) == s2x - cx and (m-dt) == s2y - cy.
n := s2x - cx
m := s2y - cy
e := s2x - s1x
d := s2y - s1y
// lineFunc checks if the t parameter is in the segment and if so
// calculates the line point in the unshifted coordinates (adds back
// cx and cy.
lineFunc := func(t float64) (x, y float64, inBounds bool) {
inBounds = t >= 0 && t <= 1 // Check bounds on closed segment
// To check bounds for an open segment use t > 0 && t < 1
if inBounds { // Calc coords for point in segment
x = n - e*t + cx
y = m - d*t + cy
}
return
}
// Since we want the points on the line distance r from the origin,
// (n-et)(n-et) + (m-dt)(m-dt) = rr.
// Expanding and collecting terms yeilds the following quadratic equation:
A, B, C := e*e+d*d, -2*(e*n+m*d), n*n+m*m-r*r
D := B*B - 4*A*C // discriminant of quadratic
if D < 0 {
return // No solution
}
D = math.Sqrt(D)
var p1In, p2In bool
x1, y1, p1In = lineFunc((-B + D) / (2 * A)) // First root
if D == 0.0 {
intersects = p1In
x2, y2 = x1, y1
return // Only possible solution, quadratic has one root.
}
x2, y2, p2In = lineFunc((-B - D) / (2 * A)) // Second root
intersects = p1In || p2In
if p1In == false { // Only x2, y2 may be valid solutions
x1, y1 = x2, y2
} else if p2In == false { // Only x1, y1 are valid solutions
x2, y2 = x1, y1
}
return
}
Я проверил его с помощью этой функции, которая подтверждает, что точки решения находятся в сегменте линии и на круге. Он делает тестовый сегмент и подметает его вокруг данного круга:
package geom_test
import (
"testing"
. "**put your package path here**"
)
func CheckEpsilon(t *testing.T, v, epsilon float64, message string) {
if v > epsilon || v < -epsilon {
t.Error(message, v, epsilon)
t.FailNow()
}
}
func TestSegmentCircleIntersection(t *testing.T) {
epsilon := 1e-10 // Something smallish
x1, y1 := 5.0, 2.0 // segment end point 1
x2, y2 := 50.0, 30.0 // segment end point 2
cx, cy := 100.0, 90.0 // center of circle
r := 80.0
segx, segy := x2-x1, y2-y1
testCntr, solutionCntr := 0, 0
for i := -100; i < 100; i++ {
for j := -100; j < 100; j++ {
testCntr++
s1x, s2x := x1+float64(i), x2+float64(i)
s1y, s2y := y1+float64(j), y2+float64(j)
sc1x, sc1y := s1x-cx, s1y-cy
seg1Inside := sc1x*sc1x+sc1y*sc1y < r*r
sc2x, sc2y := s2x-cx, s2y-cy
seg2Inside := sc2x*sc2x+sc2y*sc2y < r*r
p1x, p1y, p2x, p2y, intersects := SegmentCircleIntersection(s1x, s1y, s2x, s2y, cx, cy, r)
if intersects {
solutionCntr++
//Check if points are on circle
c1x, c1y := p1x-cx, p1y-cy
deltaLen1 := (c1x*c1x + c1y*c1y) - r*r
CheckEpsilon(t, deltaLen1, epsilon, "p1 not on circle")
c2x, c2y := p2x-cx, p2y-cy
deltaLen2 := (c2x*c2x + c2y*c2y) - r*r
CheckEpsilon(t, deltaLen2, epsilon, "p2 not on circle")
// Check if points are on the line through the line segment
// "cross product" of vector from a segment point to the point
// and the vector for the segment should be near zero
vp1x, vp1y := p1x-s1x, p1y-s1y
crossProd1 := vp1x*segy - vp1y*segx
CheckEpsilon(t, crossProd1, epsilon, "p1 not on line ")
vp2x, vp2y := p2x-s1x, p2y-s1y
crossProd2 := vp2x*segy - vp2y*segx
CheckEpsilon(t, crossProd2, epsilon, "p2 not on line ")
// Check if point is between points s1 and s2 on line
// This means the sign of the dot prod of the segment vector
// and point to segment end point vectors are opposite for
// either end.
wp1x, wp1y := p1x-s2x, p1y-s2y
dp1v := vp1x*segx + vp1y*segy
dp1w := wp1x*segx + wp1y*segy
if (dp1v < 0 && dp1w < 0) || (dp1v > 0 && dp1w > 0) {
t.Error("point not contained in segment ", dp1v, dp1w)
t.FailNow()
}
wp2x, wp2y := p2x-s2x, p2y-s2y
dp2v := vp2x*segx + vp2y*segy
dp2w := wp2x*segx + wp2y*segy
if (dp2v < 0 && dp2w < 0) || (dp2v > 0 && dp2w > 0) {
t.Error("point not contained in segment ", dp2v, dp2w)
t.FailNow()
}
if s1x == s2x && s2y == s1y { //Only one solution
// Test that one end of the segment is withing the radius of the circle
// and one is not
if seg1Inside && seg2Inside {
t.Error("Only one solution but both line segment ends inside")
t.FailNow()
}
if !seg1Inside && !seg2Inside {
t.Error("Only one solution but both line segment ends outside")
t.FailNow()
}
}
} else { // No intersection, check if both points outside or inside
if (seg1Inside && !seg2Inside) || (!seg1Inside && seg2Inside) {
t.Error("No solution but only one point in radius of circle")
t.FailNow()
}
}
}
}
t.Log("Tested ", testCntr, " examples and found ", solutionCntr, " solutions.")
}
Вот результат теста:
=== RUN TestSegmentCircleIntersection
--- PASS: TestSegmentCircleIntersection (0.00s)
geom_test.go:105: Tested 40000 examples and found 7343 solutions.
Наконец, этот метод легко расширяется в случае луча, начинающегося с одной точки, проходящего через другой и расширяющегося до бесконечности, только путем тестирования, если t> 0 или t <1, но не оба.
Ответ 23
Я просто нуждался в этом, поэтому я придумал это решение. Язык является maxscript, но его следует легко перевести на любой другой язык. sideA, sideB и CircleRadius являются скалярами, остальные переменные являются точками как [x, y, z]. Я предполагаю, что z = 0 решить на плоскости XY
fn projectPoint p1 p2 p3 = --project p1 perpendicular to the line p2-p3
(
local v= normalize (p3-p2)
local p= (p1-p2)
p2+((dot v p)*v)
)
fn findIntersectionLineCircle CircleCenter CircleRadius LineP1 LineP2=
(
pp=projectPoint CircleCenter LineP1 LineP2
sideA=distance pp CircleCenter
--use pythagoras to solve the third side
sideB=sqrt(CircleRadius^2-sideA^2) -- this will return NaN if they don't intersect
IntersectV=normalize (pp-CircleCenter)
perpV=[IntersectV.y,-IntersectV.x,IntersectV.z]
--project the point to both sides to find the solutions
solution1=pp+(sideB*perpV)
solution2=pp-(sideB*perpV)
return #(solution1,solution2)
)
Ответ 24
Вот мое решение в TypeScript, следуя идее, предложенной @Mizipzor (с использованием проекции):
/**
* Determines whether a line segment defined by a start and end point intersects with a sphere defined by a center point and a radius
* @param a the start point of the line segment
* @param b the end point of the line segment
* @param c the center point of the sphere
* @param r the radius of the sphere
*/
export function lineSphereIntersects(
a: IPoint,
b: IPoint,
c: IPoint,
r: number
): boolean {
// find the three sides of the triangle formed by the three points
const ab: number = distance(a, b);
const ac: number = distance(a, c);
const bc: number = distance(b, c);
// check to see if either ends of the line segment are inside of the sphere
if (ac < r || bc < r) {
return true;
}
// find the angle between the line segment and the center of the sphere
const numerator: number = Math.pow(ac, 2) + Math.pow(ab, 2) - Math.pow(bc, 2);
const denominator: number = 2 * ac * ab;
const cab: number = Math.acos(numerator / denominator);
// find the distance from the center of the sphere and the line segment
const cd: number = Math.sin(cab) * ac;
// if the radius is at least as long as the distance between the center and the line
if (r >= cd) {
// find the distance between the line start and the point on the line closest to
// the center of the sphere
const ad: number = Math.cos(cab) * ac;
// intersection occurs when the point on the line closest to the sphere center is
// no further away than the end of the line
return ad <= ab;
}
return false;
}
export function distance(a: IPoint, b: IPoint): number {
return Math.sqrt(
Math.pow(b.z - a.z, 2) + Math.pow(b.y - a.y, 2) + Math.pow(b.x - a.x, 2)
);
}
export interface IPoint {
x: number;
y: number;
z: number;
}