Как определить, связаны ли два узла?

Ответ 1

См. http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm, ваш универсальный магазин для всех проблем, связанных с графикой. Я считаю, что ваша проблема фактически разрешима в квадратичное время.

Ответ 2

Ваше описание, кажется, указывает на то, что вы просто заинтересованы в том, соединены ли два узла, а не в поиске кратчайшего пути.

Найти два соединенных узла относительно просто:

Create two sets of nodes:  toDoSet and doneSet
Add the source node to the toDoSet 
while (toDoSet is not empty) {
  Remove the first element from toDoList
  Add it to doneSet
  foreach (node reachable from the removed node) {
    if (the node equals the destination node) {
       return success
    }
    if (the node is not in doneSet) {
       add it to toDoSet 
    }
  }
}

return failure.

Если вы используете хеш-таблицу или что-то подобное для toDoSet и doneSet, я считаю, что это линейный алгоритм.

Обратите внимание, что этот алгоритм в основном является меткой части сборки мусора с разметкой и зачисткой.

Ответ 3

Вам не нужен алгоритм Dijkstra для этой проблемы, так как он использует кучу, которая не нужна и вводит коэффициент log (N) в вашу сложность. Это просто первый поиск по ширине - не включайте закрытые края в виде ребер.

Ответ 4

Проблема нахождения кратчайшего пути не является NP-полной. Он назвал проблему кратчайшего пути (изначально достаточно) и algorithms для решения многих различных вариантов.

Проблема определения того, связаны ли два узла, также не является NP-полной. Вы можете использовать первый поиск глубины, начинающийся с node, чтобы определить, подключен ли он к другому node.

Ответ 5

не NP-полный, разрешенный с помощью известного решения - Dijkstra Algorithm

Ответ 6

Мне кажется, что вы находитесь на пути к решению, но, возможно, я неправильно понял проблему. Если вы делаете так, как говорите, и даете закрытые края 1 как вес, вы можете просто применить алгоритм Дейкстры, http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm. Это должно решить вашу проблему в O (E * lg (V))

Ответ 7

Предполагая, что у вас есть матрица смежности:

bool[,] adj = new bool[n, n];

Где bool [i, j] = true, если есть открытый путь между я и j и bool [i, i] = false.

public bool pathExists(int[,] adj, int start, int end)
{
  List<int> visited = new List<int>();
  List<int> inprocess = new List<int>();
  inprocess.Add(start);

  while(inprocess.Count > 0)
  {
    int cur = inprocess[0];
    inprocess.RemoveAt(0);
    if(cur == end)
      return true;
    if(visited.Contains(cur))
      continue;
    visited.Add(cur);
    for(int i = 0; i < adj.Length; i++)
      if(adj[cur, i] && !visited.Contains(i) && !inprocess.Contains(i))
        inprocess.Add(i);
  }
  return false;
}

Вот рекурсивная версия вышеприведенного алгоритма (написанная в Ruby):

def connected? from, to, edges
  return true if from == to
  return true if edges.include?([from, to])
  return true if edges.include?([to, from])

  adjacent = edges.find_all { |e| e.include? from }
                  .flatten
                  .reject { |e| e == from }

  return adjacent.map do |a|
    connected? a, to, edges.reject { |e| e.include? from }
  end.any?
end

Ответ 8

Если вам нужно только определить, подключены ли 2 узла, вместо них вы можете использовать наборы, которые быстрее, чем алгоритмы графа.

• Разделить весь граф на ребра. Добавьте каждое ребро в набор.
• На следующей итерации нарисуйте края между двумя внешними узлами края, которые вы сделали на шаге 2. Это означает добавление новых узлов (с их соответствующими наборами) в набор, из которого был исходный край. (в основном слияние)
• Повторите 2 до тех пор, пока 2 узла, которые вы ищете, не будут в одном наборе. Вам также необходимо выполнить проверку после шага 1 (на всякий случай, если два узла смежны).

Сначала ваши узлы будут каждый в своем наборе,

o   o1   o   o   o   o   o   o2
 \ /     \ /     \ /     \ /
 o o     o o     o o     o o
   \     /         \     /
   o o o o         o o o o 
      \               /
       o o1 o o o o o o2

По мере того, как алгоритм прогрессирует и объединяет множества, он относительно уменьшает половину ввода.

В приведенном выше примере я искал, существует ли путь между o1 и o2. Я нашел этот путь только в конце после слияния всех ребер. На некоторых графиках могут быть отдельные компоненты (отключенные), что влечет за собой то, что вы не сможете установить один из них в конце. В таком случае вы можете использовать этот алгоритм для проверки связности и даже подсчета количества компонентов на графике. Количество компонентов - это количество наборов, которые вы можете получить, когда алгоритм заканчивается.

Возможный граф (для дерева выше):

o-o1-o-o-o2
  |    |
  o    o
       |
       o

Ответ 9

Дейкстра - это излишество!! Просто используйте ширину первого поиска из A, чтобы найти node, который вы хотите достичь. Если вы не можете найти его, он не подключен. Сложность - O (nm) для каждого поиска, что меньше, чем Dijkstra.

В некоторой степени это проблема с максимальным потоком/минимумом. Посмотрите, это может быть актуально для вашей проблемы.

Ответ 10

Я вижу, у вас есть ответ, что он определенно не NP-Complete, и это очень старый вопрос.

Однако я просто предложу другой подход к проблеме. Вы можете использовать непересекающиеся множества для этого. В большинстве случаев для данного сценария такой подход приведет к более быстрому времени, чем обход графика (это включает в себя постоянное время для большого количества тестов). Однако построение графа может занять много времени, если используется объединение по рангу или сжатие пути.

Вы можете прочитать о структуре данных здесь.

Ответ 11

Любой алгоритм кратчайшего пути графика будет излишним, если вам нужно только выяснить, подключен ли node к другому. Хорошая библиотека Java, которая выполняет это, JGraphT. Это использование довольно просто, вот пример целочисленного графика:

public void loadGraph() {
    // first we create a new undirected graph of Integers
    UndirectedGraph<Integer, DefaultEdge> graph = new SimpleGraph<>(DefaultEdge.class);

    // then we add some nodes
    graph.addVertex(1);
    graph.addVertex(2);
    graph.addVertex(3);
    graph.addVertex(4);
    graph.addVertex(5);
    graph.addVertex(6);
    graph.addVertex(7);
    graph.addVertex(8);
    graph.addVertex(9);
    graph.addVertex(10);
    graph.addVertex(11);
    graph.addVertex(12);
    graph.addVertex(13);
    graph.addVertex(14);
    graph.addVertex(15);
    graph.addVertex(16);

    // then we connect the nodes
    graph.addEdge(1, 2);
    graph.addEdge(2, 3);
    graph.addEdge(3, 4);
    graph.addEdge(3, 5);
    graph.addEdge(5, 6);
    graph.addEdge(6, 7);
    graph.addEdge(7, 8);
    graph.addEdge(8, 9);
    graph.addEdge(9, 10);
    graph.addEdge(10, 11);
    graph.addEdge(11, 12);
    graph.addEdge(13, 14);
    graph.addEdge(14, 15);
    graph.addEdge(15, 16);

    // finally we use ConnectivityInspector to check nodes connectivity
    ConnectivityInspector<Integer, DefaultEdge> inspector = new ConnectivityInspector<>(graph);

    debug(inspector, 1, 2);
    debug(inspector, 1, 4);
    debug(inspector, 1, 3);
    debug(inspector, 1, 12);
    debug(inspector, 16, 5);
}

private void debug(ConnectivityInspector<Integer, DefaultEdge> inspector, Integer n1, Integer n2) {
    System.out.println(String.format("are [%s] and [%s] connected? [%s]", n1, n2, inspector.pathExists(n1, n2)));
}

Эта библиотека также предлагает все алгоритмы кратчайшего пути.