У меня очень простой вопрос в матабе. Самый простой способ найти точку пересечения двух векторов. Я не знаком с различными функциями matlab - кажется, что для этого должен быть один.
Например, если у меня есть один вектор от (0,0) до (6,6) и другой вектор от (0,6) до (6,0), мне нужно определить, что они пересекаются при (3,3 )
Одним из решений является использование уравнений, полученных в этот учебник для поиска точки пересечения двух строк в 2-D ( update: это ссылка на интернет-архив, поскольку сайт больше не существует). Вы можете сначала создать две матрицы: одну, чтобы удерживать координаты x конечных точек линии, и одну, чтобы удерживать координаты y.
x = [0 0; 6 6]; %# Starting points in first row, ending points in second row
y = [0 6; 6 0];
Уравнения из вышеупомянутого источника затем могут быть закодированы следующим образом:
dx = diff(x); %# Take the differences down each column
dy = diff(y);
den = dx(1)*dy(2)-dy(1)*dx(2); %# Precompute the denominator
ua = (dx(2)*(y(1)-y(3))-dy(2)*(x(1)-x(3)))/den;
ub = (dx(1)*(y(1)-y(3))-dy(1)*(x(1)-x(3)))/den;
Теперь вы можете вычислить точку пересечения двух строк:
xi = x(1)+ua*dx(1);
yi = y(1)+ua*dy(1);
Для примера в вопросе приведенный код дает xi = 3 и yi = 3, как и ожидалось. Если вы хотите проверить, что точка пересечения находится между конечными точками линий (т.е. Это конечные сегменты линии), вам просто нужно проверить, что значения ua и ub лежат между 0 и 1:
isInSegment = all(([ua ub] >= 0) & ([ua ub] <= 1));
Еще несколько пунктов из учебника, связанного с выше:
den равен 0, то две строки параллельны.ua и ub равны 0, то две линии совпадают.Хорошо, что у вас действительно есть 2 точки на 2 разных строках, и вы хотите найти пересечение. Самый простой способ - найти уравнения двух линий, а затем вычислить пересечение.
Уравнение прямой задается формулой y = mx + b, где m - наклон, а b - y-перехват. Для одной линии у вас есть две точки, которые дают два уравнения. Итак, вы можете решить для констант m и b. Это дает следующие два уравнения:
0=0*m+1*b % using the first point x=y=0 into y=m*x+b
6=6*m+1*b % using the second point x=y=6
или в матричной форме
[ 0 ] = [ 0 1 ]* [ m ]
[ 6 ] [ 6 1 ] [ b ]
Для первой строки константы могут быть вычислены в MATLAB на
C1 = inv([0 1;6 1]*[1;0]; % m=C1(1) and b=C(2)
Теперь, когда у вас есть уравнение для двух линий, которое вы можете решить для пересечения, решая следующую систему уравнений (которые получают путем манипулирования уравнением для прямой)
m_1*x-y = -b_1
m_2*x-y = -b_2
Все, что осталось, это написать указанную выше систему уравнений в матричной форме и решить
[x] = inv [m_1 -1] * [-b_1]
[y] [m_2 -1] [-b_2]
или в синтаксисе MATLAB
I = inv([m_1 -1; m_2 -1])*[-b_1;-b_2]; % I is the intersection.
Примечания
В соответствии с комментарием gnovice, если строки на самом деле являются отрезками линии, вам нужно проверить, находится ли пересечение между конечными точками сегментов линии
Если два наклона равны, m_1 = m_2, то либо пересечения, либо бесконечно много пересечений не будет.
Для общего многомерного решения вы решаете серию линейных систем.
Сначала вам нужно свести уравнения к линейной форме: Ax+By=C (при необходимости разверните размеры)
Для двух точек:
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1
(y1 - y2) / (x2 - x1) * x + y - y1 = (y1 - y2) / (x2 - x1) * x1
(y1 - y2) / (x2 - x1) * x + y = (y1 - y2) / (x2 - x1) * x1 + y1
(y1 - y2) * x + (x2 - x1) * y = (y1 - y2) * x1 + (x2 - x1) * y1
A = (y1 - y2)
B = (x2 - x1)
C = (y1 - y2) * x1 + (x2 - x1) * y1 = A * x1 + B * y1
В вашем примере:
x1 = 0, x2 = 6, y1 = 0, y2 = 6
A1 = (0 - 6) = -6
B1 = (6 - 0) = 6
C1 = A1 * 0 + B1 * 0 = 0
x1 = 0, x2 = 6, y1 = 6, y2 = 0
A2 = (6 - 0) = 6
B2 = (6 - 0) = 6
C2 = A2 * 0 + B2 * 6 = 6 * 6 = 36
Затем сформируем матрицу с A B и C в строках:
[A1 B1 C1]
[A2 B2 C2]
[-6 6 0]
[ 6 6 36]
Теперь сведем к уменьшенной форме эшелона с помощью функции Matlab rref(matrix):
[ 1 0 3]
[ 0 1 3]
Как вы можете догадаться, последний столбец - ваша точка пересечения. Это можно расширить до необходимого размера. Если у вашей уменьшенной формы эшелона есть нечто иное, чем матрица идентичности для ее первой части, ваши векторы либо не имеют уникальной точки пересечения, либо не имеют точки пересечения, в зависимости от формы матрицы.
dim = 2;
% Do other stuff, ending with rref(matrix)
if (matrix(:,1:dim) == eye(dim))
% Matrix has unique solution.
solution = (matrix(:,dim+1))'
else
% No unique solution.
end
В двух измерениях вариации:
Линейное решение, указывающее решение, представляет собой линию формы
x + By = C:
[ 1 B C]
[ 0 0 0]
C2 <> 0:
[ 1 B C1]
[ 0 0 C2]
Другие результаты сбивают с толку, подробные и неполные, imo. Итак, мои 2центы - также потенциально запутывающие и многословные.
Если вы уверены, что ваши линии не параллельны или параллельны, вам потребуется следующее:
% Let each point be def as a 3x1 array
% Let points defining first line be : p1, q1
% Let points defining second line be : p2, q2
L=p1-p2;
M=p1-q1;
N=p2-q2;
A=[M N];
T=pinv(A)*L;
h=p1-T(1)*(p1-q1); % h is a 3x1 array representing the actual pt of intersection
Да, псевдо-обратная связь Мура-Пенроуза является мощным. Объяснение подхода: вы хотите найти веса или коэффициенты масштабирования "векторов направления" (M и N - векторы направления), которые линейно объединяют M и N, чтобы дать L.
Полное описание представлено ниже. В нем представлена простая схема обнаружения исключений, их обработка предоставляется пользователю. (Минимальное расстояние между двумя строчными алгоритмами - от wikipedia, сравнение косинусов направления (DCS) для проверки векторных отношений общеизвестно)
% Let each point be def as a 3x1 array
% Let points defining first line be : p1, q1
% Let points defining second line be : p2, q2
% There are two conditions that prevent intersection of line segments/lines
% in L3 space. 1. parallel 2. skew-parallel (two lines on parallel planes do not intersect)
% Both conditions need to be identified and handled in a general algo.
% First check that lines are not parallel, this is done by comparing DCS of
% the line vectors
% L, M, N ARE DIRECTION VECTORS.
L=p1-p2;
M=p1-q1;
N=p2-q2;
% Calculate normalized DCS for comparison. If equal, it means lines are parallel.
MVectorMagnitude=sqrt(sum(M.*M,2)); % The rowsum is just a generalization for N-D vectors
NVectorMagnitude=sqrt(sum(N.*N,2)); % The rowsum is just a generalization for N-D vectors
if isequal(M/MVectorMagnitude,N/NVectorMagnitude) % compare the DCS for equality
fprintf('%s\n','lines are parallel. End routine')
end;
% Now check that lines do not exist on parallel planes
% This is done by checking the minimum distance between the two lines. If there a minimum distance, then the lines are skew.
a1 = dot(M,L); b1 = dot(M,M); c1 = dot(M,N);
a2 = dot(N,L); b2 = dot(N,M); c2 = dot(N,N);
s1 = -(a1*c2 - a2*c1)/(b1*c2-b2*c1);
s2 = -(a1*b2 - a2*b1)/(b1*c2-b2*c1);
Sm=(L + s1*M - s2*N);
s=sqrt(sum(Sm.*Sm,2));
if ~isequal(s,0) % If the minimum distance between two lines is not zero, then the lines do not intersect
fprintf('%s\n','lines are skew. End routine')
end;
% Here the actual calculation of the point of intersection of two lines.
A=[M N];
T=pinv(A)*L;
h=p1-T(1)*(p1-q1); % h is a 3x1 array representing the actual pt of intersection
Таким образом, подход pinv даст вам результаты, даже если ваши M и N векторы искажены (но не параллельны, потому что требуется inv (A'.A)). Вы можете использовать это для определения минимального расстояния между двумя параллельными линиями или между двумя параллельными плоскостями. Для этого определите k = p2 + T (2) * (p2-q2), а затем требуемое расстояние h-k. Также обратите внимание, что h и k - точки на линиях, которые ближе всего друг к другу.
Таким образом, использование псевдоинверсивного и проекционного пространств дает нам краткий алгоритм для 1. Определение точки пересечения двух линий (не параллельной, а не перекошенной) 2. Определение минимального расстояния между двумя линиями (не параллельными) 3. Определение точек, наиболее близких друг к другу на двух линиях перекоса.
Краткий - это не то же самое, что с точки зрения времени. Многое зависит от вашей точной реализации функции pinv. Matlab использует svd, который решает допуск. Кроме того, некоторые результаты будут приблизительно точными в более высоких измерениях и определениях более высокого порядка метрики измерения (или векторных норм). Помимо очевидной независимой от размерности реализации, это можно использовать в статистическом регрессионном анализе и алгебраически максимизировать вероятность точечных оценок.
Enjoy.
-ssh