Комбинаторный алгоритм

Я столкнулся с интересной проблемой программирования, с которой я не могу сформулировать решение. Предположим, у вас есть K шаров из N разных цветов. Вы должны разбить все шары на максимально возможное количество групп, чтобы две группы не были одинаковыми. (Две группы считаются одинаковыми, если они имеют одинаковое количество шаров каждого цвета.) Какое максимальное количество групп вы можете сделать?

ограничения: 1 <= К <= 50, 1 <= N <= 14

Чтобы уточнить: нам нужен алгоритм, который принимает массив из целых чисел >= 1. Размер массива равен N, а сумма значений, которые он содержит, равна K. Алгоритм должен возвращать максимальное количество групп.

Любые идеи по алгоритмическому подходу к этой проблеме?

ОТВЕТЫ

Ответ 1

После разговора с моим профессором я узнал, что это была адаптация open.kattis.com problem.

Эти два почти идентичны, так как любой экземпляр исходной проблемы может быть решён путем вычисления простой факторизации N и обработки каждого простого множителя в виде шара. Например, 900 = 2 ^ 2 * 3 ^ 2 * 5 * 2, поэтому проблема эквивалентных шаров будет равна 2 2 2.

Данные оценки были найдены с использованием максимальной оценки 10 ^ 15. 2 ^ 50 > 10 ^ 15, поэтому никогда не может быть более 50 факторов, и умножение первых 15 простых чисел друг на друга также превышает 10 ^ 15, что означает, что может быть не более 14 групп.

Компромисс между количеством шаров и количеством групп был упущен, и, на мой взгляд, проблема намного проще решить. Например, если есть 14 групп, в каждой группе будет только 1 мяч, тогда как если будет 50 мячей, то все они будут принадлежать одной группе (это связано с ограничениями 10 ^ 15 исходной проблемы)

С этой новой информацией я смог решить проблему. Я факторизую N в список Primes, а также список всех факторов, а затем использовал алгоритм множественного рюкзака (если N имеет X уникальных простых коэффициентов, то рюкзак DP будет X + 1 размерным, где первое измерение равно какой предмет вы рассматриваете, а каждый другой размер представляет собой оставшийся запас определенного основного фактора). Каждый фактор из N будет представлять собой потенциальный предмет, который должен взять в рюкзак, причем его основная факторизация представляет собой вектор стоимости.

После этого проблема была слишком медленной при максимальных случаях, и потребовалась еще одна оптимизация. Я обнаружил, что всегда существует оптимальное решение, в котором используется как можно больше одиночных шариковых групп. Создав как можно больше 1 группы мячей в начале и разрешив оставшуюся подзадачу, я смог завершить задачу в ограничениях времени Каттиса.

Мой алгоритм зависит от двух предположений, которые я доказал:

  • Если вы можете создавать группы X без использования всех шаров, вы также можете сделать группы X, используя все шары. Это делает решения для ранца, где вы не используете 100% действующей мощности. Это предположение можно доказать, взяв все неиспользованные шары и добавив их в самую большую группу. Это создаст группу, большую, чем любая другая, и, следовательно, она должна быть уникальной. Это оставляет вас с одинаковым количеством групп, но все шары используются.

  • всегда существует оптимальное решение с использованием как можно большего количества 1-мя шаров. Это позволяет свести исходную задачу к подзадаче, разрешимой по временному ограничению. Это также можно доказать. Возьмите любое оптимальное решение. Для любой 1 шаровой группировки, которая не существует, возьмите группу, содержащую этот 1 шар, и переместите каждый другой шар в этой группе в самую большую группу. Это создает решение с тем же (оптимальным) числом групп, которое также имеет как можно больше 1 мясной группы.

Мое решение имеет время выполнения O (F (N) ^ 2), где F (N) - общее число факторов N.

Ответ 2

(Я пытался сформулировать стратегию игры, но я продолжал сталкиваться с контр-примерами, поэтому я переписал ответ, сохранив только те биты, которые, казалось, работали.)

Вход

Я буду считать, что вход имеет вид:

{K:30, N:6, red:4, green:3, blue:1, cyan:10, magenta:5, yellow:7}

который также может быть записан как:

rrrr ggg b cccccccccc mmmmm yyyyyyy

Одно шаровые группы

Первое наблюдение состоит в том, что один шар может превратить одну недействительную (дублирующуюся) группу в одну действительную (уникальную) группу, поэтому, не используя одиночный шар для формирования однобаровой группы, вы можете получить только одну группу, поэтому вы также можете начать с создания однобоковых групп каждого доступного цвета.

r g gg ggg (ggg) = 4  
  g gg ggg rggg  = 4

r g b bb bbb bbbbbb     = 6
r g b bb bbb bbbb (bb)  = 6
    b bb bbb bbbb rb gb = 6

Это эффективно превращает ввод с K шарами из N цветов в проблему с шарами K-N с N или меньшим количеством цветов, максимум 49: 1, 48: 2... 36:14. Пример, упомянутый выше, снижен с 30: 6 до 24: 5

rrrr ggg b cccccccccc mmmmm yyyyyyy  
r g b c m y  +  rrr gg ccccccccc mmmm yyyyyy

Малые и большие группы

Если вы создадите столько S-размерных групп, сколько возможно, прежде чем перейти к размеру S + 1, и вы оставите неиспользованные шары S, они сформируют дублируемую группу S-размера, но если бы был способ избежать этого, у вас будет еще одна S-размерная группа, поэтому это означало бы, что решение для S-размерных групп не было оптимальным в первую очередь.

Если вы создаете как можно больше S-размерных групп, прежде чем перейти к размеру S + 1, и у вас останется больше, чем S неиспользованных шаров, большие группы, которые вы формируете вместе с ними, никогда не будут дублировать группы S-размера.

Заманчиво предположить, что создание односимвольных групп, затем 2-мя шаров, тогда 3-мя шаров... приведет к оптимальному решению. Однако есть примеры, где это не так:

{K:45, N:5, red:3, green:3, blue:3, cyan:3, yellow:33}  
rrr ggg bbb ccc yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

r g b c y                         =  5  
rg bc ry gy by cy yy              =  7  
yyy yyyy yyyyy yyyyyy yyyyyyy (y) =  5
                            TOTAL = 17

r g b c y                         =  5  
      ry gy by cy yy              =  5  
ryy gyy byy cyy                   =  4  
yyy yyyy yyyyy yyyyyy             =  4  
                            TOTAL = 18

Кажется, что именно здесь вступает в игру максимум 50 мячей. Если вы начнете с создания максимально возможного количества 1-мя групп, то 2, 3... возможно, вам придется разбить небольшую группу, чтобы превратить оставшиеся шары (или уникальную группу + оставшиеся шары) в два или более уникальные группы. Однако представляется невозможным улучшить решение без остаточных шаров, по крайней мере, с этим пределом размера ввода.

Поиск оптимального количества двухразмерных групп означает заполнение 2D-таблицы следующим образом:

   r  g  b  c  m  y
r  +
g  +  -
b  +  -  +
c  -  +  -  -
m  +  +  -  +  +
y  -  +  +  -  -  +

Есть 1 + 2 +... + N возможных групп, но это не значит, что есть 2 ^ (1 + 2 +... + N) варианты для рассмотрения. С одной стороны, мы ищем оптимальное решение, поэтому нет смысла рассматривать решения только с несколькими группами, а с другой стороны, после создания 1-мя шариковых групп остается максимум K-N мячей создавать группы. Там также тот факт, что некоторые цвета могут не иметь шаров N + 1, поэтому не все комбинации с этим цветом могут быть сделаны одновременно; на самом деле становится невозможным создать все комбинации из 2 мячей при использовании более 6 цветов:

 N   K-N   pairs  combi

 1    49    24      1
 2    48    24      3
 3    47    23      6
 4    46    23     10
 5    45    22     15
 6    44    22     21
 7    43    21     28
 8    42    21     36
 9    41    20     45
10    40    20     55
11    39    19     66
12    38    19     78
13    37    18     91
14    36    18    105

Ответ 3

Я начал бы с K одноэлементных групп и уточнял их шаг за шагом, пока все группы не будут разными. На каждом шаге мы удаляем две группы, присоединяем их и возвращаем новую группу. Трудность состоит в том, какие группы выбрать, и я бы предложил следующие факторы для упорядочения выбора (в порядке убывания важности):

  • Чем больше результат выигрывает (например, две группы, которые объединяются с новой отдельной группой над двумя группами, которые объединяются с уже известным)
  • Получается меньший результат (например, двухэлементные группы над группами из трех элементов)
  • Наиболее распространенные группы для удаления

Я не уверен, нужно ли вам перетаскивать все комбинации, когда есть несколько вариантов выбора, которые две группы выбирают и присоединяют, или если какой-либо путь приведет к оптимальному решению уже, но когда нам нужно попробовать несколько то для ограничения государственного взрыва потребуется подход с динамическим программированием.

Примеры (каждая строка упорядочена по количеству вхождений):

b  g-g-g  r-r-r-r  m-m-m-m-m  y-y-y-y-y-y-y  c-c-c-c-c-c-c-c-c-c
b  cc  g-g-g  r-r-r-r  m-m-m-m-m  y-y-y-y-y-y-y  c-c-c-c-c-c-c-c
b  cc  cy  g-g-g  r-r-r-r  m-m-m-m-m  y-y-y-y-y-y  c-c-c-c-c-c-c
b  cc  cy  cm  g-g-g  r-r-r-r  m-m-m-m  y-y-y-y-y-y  c-c-c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  g-g-g  r-r-r-r  m-m-m-m  y-y-y-y  c-c-c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  cr  g-g-g  r-r-r  m-m-m-m  y-y-y-y  c-c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  cr  cg  g-g  r-r-r  m-m-m-m  y-y-y-y  c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  cr  cg  my  g-g  r-r-r  m-m-m  y-y-y  c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  cr  cg  my  rm  g-g  r-r  m-m  y-y-y  c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  cr  cg  my  rm  g  yg  r-r  m-m  y-y  c-c-c-c
b  cc  cy  cm  yy  cr  cg  my  rm  g  yg  r  y  ry  m-m  c-c-c-c
b  cy  cm  yy  cr  cg  my  rm  g  yg  r  y  ry  m-m  cc-cc  c-c
b  cy  cm  yy  cr  cg  my  rm  g  yg  r  y  ry  m  cc  mcc  c-c
cy  cm  yy  cr  cg  my  rm  g  yg  r  y  ry  m  cc  mcc  c  cb


g-g-g  r-r-r-r-r  b-b-b-b-b
rb  g-g-g  r-r-r-r  b-b-b-b
rb  rg  g-g  r-r-r  b-b-b-b
rb  rg  br  g  r-r-r  b-b-b
rb  rg  br  g  r  rr  b-b-b
rb  rg  br  g  r  rr  b  bb

Как алгоритм для каждого шага, я не генерировал все возможные комбинации групп, чтобы удалить и упорядочить их с помощью функции сравнения выше, но пошел назад, чтобы получить некоторые кандидаты:

  • выберите наиболее распространенную группу и удалите ее, затем выберите (сейчас) наиболее распространенную группу и удалите ее.
  • посмотрите, что они вместе не имеют больше элементов, чем то, что может быть достигнуто с менее распространенными группами.
  • Посмотрите, что они объединяются с неизвестной группой.
  • Если да, возьмите их, если нет, то повторите с шага 1 со следующими общими группами

Это в основном задает вопросы

  • Насколько распространена эта группа (комбинация элементов)/каково ее количество вхождения?
  • Возможны ли все возможные комбинации с элементами из этой группы ниже определенного размера?
  • Возможны ли комбинации с элементами этой группы и элементами из уже сгенерированных следующих групп?

результаты которого могут быть кэшированы в стиле динамического программирования, так что мы можем быстро пропустить некоторых кандидатов (пока не будет действительно хорошего выбора, и нам нужно выполнить слияние, которое не генерирует новую отдельную группу, пример выше, когда линия становится короче). Мы также можем предположить, что мы в принципе никогда не выбираем группу, которая встречается только один раз, поскольку известно, что она не генерирует результат с более разными группами.