Я действительно запутался в различиях между большой О, большой Омегой и большой тета-нотой.
Я понимаю, что большая O - верхняя граница, а большая Омега - нижняя граница, но что представляет собой большая Ө (тета)?
Я читал, что это означает ограниченную привязку, но что это значит?
Это означает, что в данной функции алгоритм является большим-O и большим-Omega.
Например, если это Ө(n), то существует некоторая константа k, так что ваша функция (время выполнения, что угодно) больше n*k для достаточно больших n, а некоторые другие constant k, так что ваша функция меньше n*k для достаточно больших n.
n он зажат между двумя линейными функциями:
Для k < K и n достаточно больших, n*k < f(n) < n*K
Сначала дайте понять, что такое большая O, большая Theta и большая Omega. Все они устанавливают функции.
Big O дает верхнюю асимптотическую границу, а большая Омега дает нижнюю границу. Большая тэта дает оба.
Все, что есть Ө(f(n)), также O(f(n)), но не наоборот.
T(n) называется Ө(f(n)), если он находится как в O(f(n)), так и в Omega(f(n)).
В терминах терминов Ө(f(n)) находится intersection O(f(n)) и Omega(f(n))
Например, худший вариант сортировки слияния - это O(n*log(n)) и Omega(n*log(n)) - и, следовательно, также Ө(n*log(n)), но он также O(n^2), так как n^2 асимптотически "больше", чем он. Однако он не Ө(n^2), так как алгоритм не Omega(n^2).
O(n) является асимптотической верхней границей. Если T(n) O(f(n)), это означает, что из некоторого n0 существует константа C такая, что T(n) <= C * f(n). С другой стороны, большая Омега говорит, что существует константа C2 такая, что T(n) >= C2 * f(n))).
Не путать с худшим, лучшим и средним анализом случаев: все три (Omega, O, Theta) нотации не связаны с лучшим, худшим и средним случаем анализа алгоритмов. Каждый из них может быть применен к каждому анализу.
Мы обычно используем его для анализа сложности алгоритмов (например, пример сортировки слияния). Когда мы говорим, что "Алгоритм A есть O(f(n))", мы действительно имеем в виду: "Сложность алгоритмов при худшем случае 1 - это O(f(n))" - значение - оно масштабируется "аналогично" (или формально, не хуже) функции f(n).
Ну, есть много причин для этого, но я считаю, что наиболее важными из них являются:
Чтобы продемонстрировать эту проблему, просмотрите следующие графики:
Ясно, что f(n) = 2*n "хуже", чем f(n) = n. Но разница не такая резкая, как от другой функции. Мы можем видеть, что f(n)=logn быстро становится намного ниже других функций, а f(n) = n^2 быстро становится намного выше, чем другие.
Итак, из-за вышеприведенных причин мы "игнорируем" постоянные факторы (2 * в примере графов) и принимаем только обозначение большого О.
В приведенном выше примере f(n)=n, f(n)=2*n будет находиться в O(n) и в Omega(n) - и, следовательно, также будет находиться в Theta(n).
С другой стороны - f(n)=logn будет в O(n) (он "лучше", чем f(n)=n), но НЕ будет в Omega(n) - и, следовательно, также НЕ будет в Theta(n).
Симметрично, f(n)=n^2 будет в Omega(n), но НЕ в O(n), и, следовательно, - также NOT Theta(n).
1 Обычно, хотя и не всегда. когда класс анализа (худший, средний и лучший) отсутствует, мы действительно имеем в виду худший случай.
Чтобы ответить на ваш вопрос, необходимо также объяснить асимптотические обозначения и функции в асимптотических обозначениях. Если у вас есть терпение, чтобы прочитать все это, все будет очень ясно в конце.
Чтобы подумать об алгоритмах, вы можете использовать две основные идеи:
Мы говорим, что время работы этого алгоритма растет с ростом n ^ 2, снижая коэффициент 6 и остальные члены 100n + 300. На самом деле не имеет значения, какие коэффициенты мы используем; пока время работы равно ^ 2 + bn + c, для некоторых чисел a > 0, b и c всегда будет значение n, для которого an ^ 2 больше bn + c, и эта разница увеличивается с ростом n. Отбрасывая постоянные коэффициенты и менее значимые члены, мы используем асимптотические обозначения.
Вот простая реализация линейного поиска
var doLinearSearch = function(array) {
for (var guess = 0; guess < array.length; guess++) {
if (array[guess] === targetValue) {
return guess; // found it!
}
}
return -1; // didn't find it
};
Когда мы говорим, что конкретное время работы Θ (n), мы говорим, что когда n становится достаточно большим, время работы не менее k 1 * n и не более k 2 * N для некоторых констант k 1 и k 2. Здесь, как думать о Θ (n)
При малых значениях n нам все равно, как время работы сравнивается с k 1 * n или k 2 * n. Но как только n становится достаточно большим - справа или справа от пунктирной линии - время работы должно быть зажато между k 1 * n и k 2 * n. Пока существуют эти константы k 1 и k 2, мы говорим, что время работы Θ (n).
Θ (2 ^ п)
Заметим, что экспоненциальная функция a ^ n, где a > 1, растет быстрее любой полиномиальной функции n ^ b, где b - любая константа.
Theta (n): Функция f(n) принадлежит Theta(g(n)), если существуют положительные константы c1 и c2 такие, что f(n) может быть зажата между c1(g(n)) и c2(g(n)). то есть он дает как верхнюю, так и нижнюю границу.
Theta (g (n)) = {f (n): существуют положительные константы c1, c2 и n1 такие, что 0 <= c1 (g (n)) <= f (n) <= c2 (g (n)) для всех n >= n1}
когда мы говорим f(n)=c2(g(n)) или f(n)=c1(g(n)), он представляет асимптотически жесткую границу.
O (n): Он дает только верхнюю границу (может или не может быть жесткой)
O (g (n)) = {f (n): существуют положительные константы c и n1 такие, что 0 <= f (n) <= cg (n) для всех n >= n1}
ex: граница 2*(n^2) = O(n^2) асимптотически плотная, тогда как оценка 2*n = O(n^2) не является асимптотически плотной.
o (n): Он дает только верхнюю границу (никогда не ограниченную)
заметная разница между O (n) и o (n) равна f (n) меньше cg (n) для всех n >= n1, но не равно, как в O (n).
ex: 2*n = O(n^2), но 2*(n^2) != o(n^2)
