На самом деле проблем нет. Проект компилируется и запускается. Но я не могу понять, что такое классное имя класса (Android Studio говорит, что используется устаревший код) 
. Может кто-нибудь объяснить?
ActionBarActivity устарела
Ответ 1
Поскольку версия 22.1.0, класс ActionBarActivity устарел. Вы должны использовать AppCompatActivity.
Прочтите здесь и здесь для получения дополнительной информации.
Ответ 2
В соответствии с этим видео разработчиков Android вы должны сделать только два изменения
Ответ 3
В документации разработчиков Android говорится: "Обновлен AppCompatActivity в качестве базового класса для действий, которые используют функциональные возможности панели поддержки библиотеки. Этот класс заменяет устаревшую ActionBarActivity".
checkout для Android Support Library, версия 22.1.0 (апрель 2015 г.)