Использование BFS для взвешенных графиков

Я пересматривал алгоритмы кратчайшего пути с одним источником и в видео, учитель упоминает, что BFS/DFS не может использоваться непосредственно для поиска кратчайших путей в взвешенный график (я думаю, все это уже знают) и сказал, чтобы решить причину самостоятельно.

Мне было интересно, какая именно причина/объяснение того, почему он не может использоваться для взвешенных графиков. Это связано с весами краев или чего-то еще? Может кто-нибудь объяснить мне, как я немного запутался.

PS: Я просмотрел этот вопрос и этот вопрос.

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Рассмотрим такой граф:

A---(3)-----B
|           |
\-(1)-C--(1)/

Самый короткий путь от А до В - через С (с общим весом 2). Нормальная BFS будет принимать путь непосредственно от A до B, отмечая B как видно, и от A до C, отмечая C как показано.

На следующем этапе распространение с C, B уже отмечено как показано, поэтому путь от C до B не будет рассматриваться как потенциальный более короткий путь, и BFS скажет вам, что кратчайший путь от A до B имеет вес 3.

Вы можете использовать алгоритм Dijkstra вместо BFS, чтобы найти кратчайший путь на взвешенном графике. Функционально алгоритм очень похож на BFS и может быть написан аналогично BFS. Единственное, что меняется, это порядок, в котором вы рассматриваете узлы.

Например, в приведенном выше графике, начиная с A, BFS будет обрабатывать A → B, затем A → C и останавливаться там, потому что все узлы видны.

С другой стороны, алгоритм Дейкстры будет работать следующим образом:

  • Рассмотрим A → C (так как это вес самого нижнего края из A)
  • Рассмотрим C → B (так как это край наименьшего веса из любого node, который мы до сих пор до сих пор не рассмотрели)
  • Рассмотрим и проигнорируем A → B, так как B уже был замечен.

Заметим, что разница лежит в том порядке, в котором проверяются ребра. BFS рассмотрит все ребра из одного node, прежде чем переходить к другим узлам, тогда как алгоритм Дийкстра всегда будет рассматривать край наименьшего веса невидимый, из набора ребер, связанных с all узлы, которые были просмотрены до сих пор. Это звучит запутанно, но псевдокод очень прост:

create a heap or priority queue
place the starting node in the heap
dist[2...n] = {∞}
dist[1] = 0
while the heap contains items:
   vertex v = top of heap
   pop top of heap
   for each vertex u connected to v:
       if dist[u] > dist[v] + weight of v-->u:
           dist[u] = dist[v] + weight of edge v-->u
           place u on the heap with weight dist[u]

Этот GIF из Википедии обеспечивает хорошую визуализацию происходящего:

Dijkstra

Обратите внимание, что это выглядит очень похоже на код BFS, Единственная реальная разница заключается в использовании кучи, отсортированной по расстоянию до node вместо обычной структуры данных очереди.. p >

Ответ 2

Хотя это верно, но вы можете использовать BFS/DFS в взвешенных графах, с небольшим изменением графика, если ваши веса графика являются положительными целыми числами, вы можете заменить ребро весом n на n ребрами с вес 1 с n-1 средними узлами. Что-то вроде этого:

A-(4)-B

будет:

A-(1)-M1-(1)-M2-(1)-M3-(1)-B

И не учитывайте эти средние узлы (например, M1, M2, M3) в ваших окончательных результатах BFS/DFS.

Эта сложность алгоритма - O (V * M), а M - максимальный вес наших ребер, если мы знаем, что в наших конкретных графах M<log V этот алгоритм может быть рассмотрен, но в целом этот алгоритм может не иметь такого хорошая производительность.