Найти набор чисел в одной коллекции, которая добавляет число в другое

Для игры, которую я делаю, у меня есть ситуация, когда у меня есть список чисел – скажем, [7, 4, 9, 1, 15, 2] (названный A для этого) – и другой список чисел – скажем [11, 18, 14, 8, 3] (названный B) – предоставлено мне. Цель состоит в том, чтобы найти все комбинации чисел в A, которые добавляют к числу в B. Например:

  • 1 + 2 = 3
  • 1 + 7 = 8
  • 2 + 9 = 11
  • 4 + 7 = 11
  • 1 + 2 + 4 + 7 = 14
  • 1 + 2 + 15 = 18
  • 2 + 7 + 9 = 18

... и так далее. (Для этого 1 + 2 совпадает с 2 + 1.)

Для небольших списков, подобных этому, тривиально просто грубо заставлять комбинации, но я сталкиваюсь с возможностью увидеть тысячи до десятков тысяч этих чисел и будет использовать эту процедуру повторно на протяжении всего срока действия приложения. Есть ли какой-либо изящный алгоритм, доступный для достижения этого в разумные сроки со 100% охватом? В противном случае, есть ли какая-то достойная эвристика, которую я могу найти, которая может дать мне "достаточно хороший" набор комбинаций за разумное время?

Я ищу алгоритм в псевдокоде или на любом прилично популярном и читаемом языке (обратите внимание на "и" там...;) или даже на простое английское описание того, как можно было бы реализовать этот вид поиска.

Отредактировано для добавления:

Довольно много хорошей информации. Спасибо, парень! Суммируя сейчас:

  • Проблема заключается в NP-Complete, поэтому нет достаточной силы для получения 100% -ной точности в разумные сроки.
  • Проблема может рассматриваться как вариант либо сумма подмножества, либо knapsack. Известны эвристики для обоих, которые могут быть адаптированы к этой проблеме.

Держите идеи! И еще раз спасибо!

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Эта проблема NP-Complete... Это некоторая вариация проблемы суммирования подмножеств, которая, как известно, является NP-Complete (на самом деле проблема с заданной суммой проще, чем ваша).

Читайте здесь для получения дополнительной информации: http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem

Ответ 2

Как сказано в комментариях с номерами от 1 до 30, проблема имеет быстрое решение. Я тестировал его на C, и для вашего примера он нужен только в миллисекундах и будет очень хорошо масштабироваться. Сложность - O (n + k), где n - длина списка A и k - длина списка B, но с высоким постоянным коэффициентом (есть 28.598 возможных, чтобы получить сумму от 1 до 30).

#define WIDTH 30000
#define MAXNUMBER 30

int create_combination(unsigned char comb[WIDTH][MAXNUMBER+1], 
                       int n, 
                       unsigned char i, 
                       unsigned char len, 
                       unsigned char min, 
                       unsigned char sum) {
    unsigned char j;

    if (len == 1) {
        if (n+1>=WIDTH) {
            printf("not enough space!\n");
            exit(-1);
        }
        comb[n][i] = sum;
        for (j=0; j<=i; j++)
            comb[n+1][j] = comb[n][j];
        n++;
        return n;
    }

    for (j=min; j<=sum/len; j++) {
        comb[n][i] = j;
        n = create_combination(comb, n, i+1, len-1, j, sum-j);
    }

    return n;
}

int main(void)
{
    unsigned char A[6] = { 7, 4, 9, 1, 15, 2 };
    unsigned char B[5] = { 11, 18, 14, 8, 3 };

    unsigned char combinations[WIDTH][MAXNUMBER+1];
    unsigned char needed[WIDTH][MAXNUMBER];
    unsigned char numbers[MAXNUMBER];
    unsigned char sums[MAXNUMBER];
    unsigned char i, j, k;
    int n=0, m;

    memset(combinations, 0, sizeof combinations);
    memset(needed, 0, sizeof needed);
    memset(numbers, 0, sizeof numbers);
    memset(sums, 0, sizeof sums);

    // create array with all possible combinations
    // combinations[n][0] stores the sum
    for (i=2; i<=MAXNUMBER; i++) {
        for (j=2; j<=i; j++) {
            for (k=1; k<=MAXNUMBER; k++)
                combinations[n][k] = 0;
            combinations[n][0] = i;
            n = create_combination(combinations, n, 1, j, 1, i);
        }
    }

    // count quantity of any summands in each combination
    for (m=0; m<n; m++)
        for (i=1; i<=MAXNUMBER && combinations[m][i] != 0; i++)
            needed[m][combinations[m][i]-1]++;

    // count quantity of any number in A
    for (m=0; m<6; m++)
        if (numbers[A[m]-1] < MAXNUMBER)
            numbers[A[m]-1]++;

    // collect possible sums from B
    for (m=0; m<5; m++)
        sums[B[m]-1] = 1;

    for (m=0; m<n; m++) {
        // check if sum is in B
        if (sums[combinations[m][0]-1] == 0)
            continue;

        // check if enough summands from current combination are in A
        for (i=0; i<MAXNUMBER; i++) {
            if (numbers[i] < needed[m][i])
                break;
        }

        if (i<MAXNUMBER)
            continue;

        // output result
        for (j=1; j<=MAXNUMBER && combinations[m][j] != 0; j++) {
            printf(" %s %d", j>1 ? "+" : "", combinations[m][j]);
        }
        printf(" = %d\n", combinations[m][0]);
    }

    return 0;
}

1 + 2 = 3
1 + 7 = 8
2 + 9 = 11
4 + 7 = 11
1 + 4 + 9 = 14
1 + 2 + 4 + 7 = 14
1 + 2 + 15 = 18
2 + 7 + 9 = 18

Ответ 3

Звучит как проблема с рюкзаком (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem. На этой странице они также объясняют, что проблема NP-полная в целом.

Я думаю, это означает, что если вы хотите найти ВСЕ действительные комбинации, вам просто нужно много времени.

Ответ 4

Это небольшое обобщение проблемы суммирования подмножества . В общем случае он является NP-полным, но до тех пор, пока все числа являются целыми числами, а максимальное число в B относительно невелико, псевдополиномиальное решение, описанное в статье, связанной с Википеей, я должен сделать трюк.