Решение целочисленной линейной программы: почему решатели, претендующие на разрешимый экземпляр, недопустимы?

Я пытаюсь решить проблемы с целым программированием. Я пробовал использовать SCIP и LPSolve

Например, учитывая конечные значения A и B, я хочу решить для valA в следующем С# -коде:

Int32 a = 0, b = 0;
a = a*-6 + b + 0x74FA - valA;
b = b/3 + a + 0x81BE - valA;
a = a*-6 + b + 0x74FA - valA;
b = b/3 + a + 0x81BE - valA;
// a == -86561, b == -32299

Что я реализовал как эту целочисленную программу в формате lp (разделяющее деление вызывает несколько осложнений):

min: ;
+valA >= 0;
+valA < 92;
remAA_sign >= 0;
remAA_sign <= 1;
remAA <= 2;
remAA >= -2;
remAA +2 remAA_sign >= 0;
remAA +2 remAA_sign <= 2;
remAA +4294967296 remAA_range >= -2147483648;
remAA +4294967296 remAA_range <= 2147483647;
remAA +4294967296 remAA_range +2147483648 remAA_sign >= 0;
remAA +4294967296 remAA_range +2147483648 remAA_sign <= 2147483648;
-1 remAA +4294967296 remAA_range +3 remAA_mul3 = 0;
remAB_sign >= 0;
remAB_sign <= 1;
remAB <= 2;
remAB >= -2;
remAB +2 remAB_sign >= 0;
remAB +2 remAB_sign <= 2;
remAB +4294967296 remAB_range >= -2147483648;
remAB +4294967296 remAB_range <= 2147483647;
remAB +4294967296 remAB_range +2147483648 remAB_sign >= 0;
remAB +4294967296 remAB_range +2147483648 remAB_sign <= 2147483648;
+1431655765 remAA +1 offA -2 valA +1 offB -1 remAB +4294967296 remAB_range +3 remAB_mul3 = 0;
a = -86561;
b = -32299;
offA = 29946;
offB = 33214;
-4 offA +3 valA +1431655765 remAA +1 offB +4294967296 Fa - a = 0;
+477218588 remAA -1431655769 offA -1431655764 valA -1431655763 offB +1431655765 remAB +4294967296 Fb - b = 0;
int valA;
int remAA;
int remAA_range;
int remAA_sign;
int remAA_mul3;
int remAB;
int remAB_range;
int remAB_sign;
int remAB_mul3;
int Fa;
int Fb;
int offA;
int offB;
int a;
int b;

И затем попытался его решить:

The model is INFEASIBLE

Однако я знаю, что существует приемлемое решение, потому что я знаю переменное назначение, которое работает. Добавляя, следующие условия заставляют найти решение:

a = -86561;
b = -32299;
offA = 29946;
offB = 33214;
valA = 3;
remAA = 0;
remAA_range = 0;
remAA_sign = 0;
remAA_mul3 = 0;
remAB = 1;
remAB_range = 0;
remAB_sign = 0;
remAB_mul3 = -21051;
Fa = 0;
Fb = 21054;

Два разных решателя утверждают, что эта возможная проблема недопустима. Я нарушаю какое-то неписаное состояние? Что происходит? Существуют ли решатели, которые действительно решают проблему?

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Решения MIP работают с данными с плавающей запятой. Для таких проблем, как ваши, которые имеют широкие вариации в величине в данных, это приводит к ошибкам округления. Любой ресивер LP должен будет выполнять операции над этими данными, которые могут усилить проблему. В некоторых случаях, таких как ваша проблема, это может заставить решающего заключить, что проблема не может быть невозможной, когда это не так. Когда вы фиксируете переменные, решатель делает меньше операций с плавающей запятой.

Коммерческие решатели решаются, например Gurobi, или cplex, как правило, лучше работают с такими сложными данными, как ваши. Gurobi имеет параметр QuadPrecision, который работает с более высокоточными числами с плавающей запятой. У большинства решателей есть параметр, который заставит решателя работать лучше с численно сложными данными. Например, LPSolve имеет параметр epsint, который заставит его расслабиться, что он считает целым. По умолчанию для параметра 10e-7, поэтому 0.9999999 будет считаться целым числом, но 0.9999998 не будет. Вы можете сделать это значение больше, но вы рискуете получить неприемлемые результаты.

Вы испытываете просачивающуюся абстракцию. Ваша проблема технически входит в сферу программирования с смешанным целым, но решатели MIP не предназначены для ее решения. Смешанное целочисленное программирование - проблема NP-Hard. Невозможно иметь решателя, который работает быстро и надежно на всех входах. Решатели MIP стараются хорошо работать над проблемами, которые возникают из различных областей, таких как оптимизация портфеля, планирование цепочки поставок и сетевые потоки. Они не предназначены для решения криптологических проблем.

Ответ 2

Вы также можете посмотреть SCIP 3.1.0 и особенно его арифметические функции с расширенной точностью. Используя GMP, решение LP может быть рассчитано с очень высокой точностью.