Будет ли минимальное остовное дерево и кратчайшее дерево путей делиться хотя бы одним ребром?

Я изучаю теорию графов, и у меня есть вопрос о связи между минимальными связующими деревьями и кратчайшими деревьями путей.

Пусть G - неориентированный связный граф, где все ребра имеют весовые с разными затратами. Пусть T - MST G, а T s - это дерево кратчайшего пути для некоторого node s. Являются ли T и T s гарантированно иметь хотя бы одно ребро?

Я считаю, что это не всегда так, но я не могу найти контрпример. Кто-нибудь имеет предложение о том, как найти контрпример?

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Я думаю, что это утверждение действительно так, поэтому я сомневаюсь, что вы можете найти контрпример.

Здесь подсказка - возьмите любой node в графе и найдите кратчайшее дерево путей для этого node. Теперь подумайте, что произойдет, если вы запустите алгоритм Prim, начиная с этого node - можете ли вы гарантировать, что хотя бы один край из MST будет найти свой путь в кратчайшее дерево путей?

Надеюсь, это поможет!

Ответ 2

Доказательство К вершине s и ее дереву кратчайшего пути T s, клин в MST T - w (s, v), и предположим, что он не существует в T s. то должен быть более короткий путь от v до s, и в пути есть вершина (потому что w ( s, v) - это не самый короткий путь), который предположим, что он p, и делает s → p → v, w ( s, v) >= путь ( s → p → v). Удалите w ( s, v) и добавьте w ( s, p) в T, когда все ребра положительны и различны, w ( s, p) < w ( s, v). мы получаем менее минимальное остовное дерево T '.

Но T - это MST. Это противоречие. Условное совпадение не выполняется, что доказывает, что T и T s должны иметь как минимум одно ребро, а w (s, v) в MST T.

Если есть вес с 0 стоимостью, ситуация аналогична. Вы можете предположить, что две вершины w (a, b) = 0 являются одной и той же вершиной и удаляют одну из них. Доказательство работает, когда веса неотрицательны.

когда некоторые веса отрицательны и w (s, p) > w ( s, v), т.е. w ( p, v) < 0, w ( s, v) >= path ( s → p → v) не может сделать w ( s, p) < w ( s, v), но в MST T w ( s, v) также не существует, потому что путь ( s → p → v) делает s v с меньшими затратами, замените w ( s, v) в T с w ( s, p) и w ( p, v), если это необходимо, делает менее минимальное остовное дерево T. Все еще противоречит.