Продукт комплексных чисел с использованием только трех умножений

Мы выполняем комплексное умножение чисел следующим образом:

(a + i * b) * (c + i * d) = (a * c - b * d) + i * (a * d + b * c)

Реальная и мнимая части результата

real part = (a * c - b * d)
imag part = (a * d + b * c)

Это включает в себя четыре реальных умножения. Как мы можем это сделать только с тремя действительными умножениями?

Ответ 1

Вас интересуют два номера: A=ac−bd и B=ad+bc. Вычислите три действительных умножения S1=ac,S2=bd, and S3=(a+b)(c+d). Теперь вы можете вычислить результаты как A=S1−S2 и B=S3−S1−S2.

Этот процесс называется умножением Карацубы и сильно используется в анализе алгоритмов.

Используется для нахождения ближайшей пары точек.

Ответ 2

Для полноты, я хотел бы указать комплексный алгоритм умножения Гаусса, что является еще одним способом комплексного умножения с тремя размножается. Подводя итог, вы вычисляете

k1 = c * (a + b)
k2 = a * (d - c)
k3 = b * (c + d)
Real part = k1 - k3
Imaginary part = k1 + k2

Ответ 3

Некоторые алгоритмы, например. Split-radix FFT устанавливает более высокие ожидания в отношении сложного умножения, требующего сложности ровно 3 реальных умножений и 3 реальных дополнений.

(a+ib)(c+id)=ac−bd+i(ad+bc)    

x=a(c−d)
y=a+b
z=a−b
ac-bd=zd+x
ad+bc=yc−x

В FFT y и z полностью исходят из коэффициентов twiddle, поэтому их можно предварительно вычислить и сохранить в справочной таблице. Таким образом, требование выполнено. FFT Tricks

Ответ 4

Валлаб Патаде уже ответил, как выполнить произведение между двумя комплексными числами только с тремя действительными умножениями. Применение алгоритма Karatsuba действительно является следующим

x = a + i * b;
y = c + i * d;

real(x * y) = a * c - b * d;
imag(x * y) = (a + b) * (c + d) - a * c - b * d;

Теперь возникает вопрос: можем ли мы выполнить произведение между двумя комплексными числами с less, чем три реальных умножения?

Ответ NO и предоставляется теоремой Винограда в

S. Winograd, "On the number of multiplications required to compute certain functions", Commun. Pure Appl. Math. 23 (1970), 165-179.

Минимальное количество умножений, требуемое при вычислении произведения между двумя комплексными числами, равно трем.