Каждый раз, когда Ive использовал fix :: (a -> a) -> a, он был в типе
((a -> b) -> a -> b) -> a -> b
для некоторых a и b. Есть ли на самом деле какое-либо приложение fix, где его параметр типа не создается для типа функции, кроме тривиальной вещи, например fix (const 0)? Какова цель оставить подпись наиболее общей?
Существует много примеров построения исходных данных с помощью fix. Я недостаточно разбираюсь в общей теории, но кажется, что любой тип данных, подобный потоку, в котором вы всегда можете вывести еще одно значение с учетом потока до сих пор, можно вычислить с помощью fix без подавая ему тип функции.
Самый простой пример (данный в ответе кактуса) - повторяющийся поток значений, например
x = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
Это удовлетворяет уравнению
(1:) x = x
и может быть произведено
>> fix (1:)
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]
Несколько более сложный пример - натуральные числа
n = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...]
которые удовлетворяют уравнению
0 : map (+1) n = n
и может быть произведено
>> fix ((0:) . map (+1))
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...]
Факторные числа могут быть сгенерированы наиболее легко, если мы посмотрим на пару (n,f), где f является n -ным факториальным числом -
x = [(0,1), (1,1), (2,2), (3,6), (4,24), (5,120), ...]
которые фиксированы, если взять пару (n,f) в (n+1, f*(n+1)), а затем cons (0,1) в начало списка. Таким образом, они могут быть сгенерированы с помощью
>> fix $ \xs -> (0,1) : map (\(n,f) -> (n+1,f*(n+1))) xs
[(0,1),(1,1),(2,2),(3,6),(4,24),(5,120),(6,720),(7,5040),...]
Число фибоначчи может быть сгенерировано аналогично, как и в user3237465.
Все три примера здесь являются по существу рекурсивными функциями, преобразованными в корекурсивные потоки, т.е. они имеют некоторое начальное состояние s, а значения, испускаемые потоком, - это s, f s, f (f s) и т.д. для некоторой функции f. Общим методом для этого является функция iterate
iterate :: (a -> a) -> a -> [a]
iterate f x = x : iterate f (f x)
который может быть определен в терминах fix -
iterate f x = x : map f (iterate f x)
= (x:) . (map f) $ iterate f x
= fix ((x:) . map f)
Таким образом, любой поток, который повторно применяет функцию к некоторому состоянию, можно записать в терминах fix (хотя, конечно, вы можете просто использовать iterate вместо fix - частный случай правила, fix не требуется на языке, который допускает рекурсивные выражения let).
Для примера, который не является потоком, рассмотрим бинарные деревья со значениями в ветвях -
data Tree a = Tip | Bin a (Tree a) (Tree a) deriving (Show)
Если нам нужно бинарное дерево, узлы которого помечены в первом порядке, обратите внимание, что мы могли бы исправить такое дерево, взяв две копии самого себя и увеличив все значения в левом и правом ветвях соответствующим количество, определяемое следующей функцией -
fun :: (Num a) => Tree a -> Tree a
fun t = Bin 1 (incr 1 t) (incr 2 t)
where
incr n (Bin a l r) = Bin (a+n) (incr m l) (incr m r)
where
m = 2 * n
Используя простую функцию takeLevels для отображения только начальной части дерева, мы вычисляем неподвижную точку как
>> takeLevels 3 $ fix fun
Bin 1 (Bin 2 (Bin 4 Tip Tip) (Bin 5 Tip Tip)) (Bin 3 (Bin 6 Tip Tip) (Bin 7 Tip Tip))
что мы хотели.
Я не знаю, считаете ли вы этот пример тривиальным, но вы можете напрямую использовать fix (не проходя через функцию) для создания данных:
repeat :: a -> [a]
repeat x = fix (x:)
Последовательность Фибоначчи, например:
fibs = fix ((1:) . (1:) . (zipWith (+) <*> tail))
Или функция forever:
forever x = fix (x >>)
Или другой вариант последовательности фибоначчи:
fibs :: State (Int, Int) [Int]
fibs = fix $ \loop -> do
(x, y) <- get
put (y, y + x)
(x :) <$> loop
main = print $ take 15 $ fst $ runState fibs (1, 1)
выводит [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610].