Я создал выпуклый корпус, используя scipy.spatial.ConvexHull. Мне нужно вычислить точку пересечения между выпуклой оболочкой и лучом, начиная с 0 и в направлении некоторой другой определенной точки. Известно, что выпуклая оболочка содержит 0, поэтому пересечение должно быть гарантировано. Размер проблемы может варьироваться от 2 до 5. Я пробовал поиск по Google, но не нашел ответа. Я надеюсь, что это общая проблема с известными решениями в вычислительной геометрии. Спасибо.
Пересечение nD-линии с выпуклым корпусом в Python
Ответ 1
В соответствии с qhull.org точки x
грань выпуклой оболочки подтверждают V.x+b=0
, где V
и b
даны выражением hull.equations
. Если U
- вектор луча, начиная с O
, уравнение его луча x=αU, α>0
. поэтому пересечение луча фасет x = αU = -b/(V.U) U
. Уникальная точка пересечения с корпусом соответствует минимуму положительных значений α
:
Следующий код:
from pylab import *
from scipy.spatial import ConvexHull
def hit(U,hull):
eq=hull.equations.T
V,b=eq[:-1],eq[-1]
alpha=-b/dot(V,U)
return np.min(alpha[alpha>0])*U
Это чистое решение numpy, так что оно быстро. Пример 1 миллиона точек в кубе [-1,1]^3
:
In [13]: points=2*rand(1e6,3)-1;hull=ConvexHull(points)
In [14]: %timeit x=hit(ones(3),hull)
#array([ 0.98388702, 0.98388702, 0.98388702])
10000 loops, best of 3: 30 µs per loop
Ответ 2
Как упоминалось Анте в комментариях, вам нужно найти самое близкое пересечение всех линий/плоскостей/гиперплоскостей в корпусе.
Чтобы найти пересечение луча с гиперплоскостью, произведите точечное произведение нормированного луча с гиперплоской нормалью, которое расскажет вам, как далеко в направлении гиперплоскости нормаль вы двигаетесь для каждого расстояния единицы вдоль луча.
Если точечный продукт отрицательный, это означает, что гиперплоскость находится в противоположном направлении от луча, если ноль означает, что луч параллелен ему и не будет пересекаться.
Как только у вас есть продукт с положительной точкой, вы можете определить, как далеко находится гиперплоскость в направлении луча, разделив расстояние плоскости в направлении плоскости нормальным точечным продуктом. Например, если плоскость находится на расстоянии 3 единицы, а точечный продукт равен 0,5, то вы получите всего 0,5 единицы ближе для каждого устройства, которое вы перемещаете вдоль луча, поэтому гиперплоскость составляет 3/0,5 = 6 единиц в направлении луча.
Как только вы рассчитали это расстояние для всех гиперплоскостей и нашли ближайший, точка пересечения - это просто луч, умноженный на ближайшее расстояние.
Вот решение в Python (нормализовать функцию от здесь):
def normalize(v):
norm = np.linalg.norm(v)
if norm == 0:
return v
return v / norm
def find_hull_intersection(hull, ray_point):
# normalise ray_point
unit_ray = normalize(ray_point)
# find the closest line/plane/hyperplane in the hull:
closest_plane = None
closest_plane_distance = 0
for plane in hull.equations:
normal = plane[:-1]
distance = plane[-1]
# if plane passes through the origin then return the origin
if distance == 0:
return np.multiply(ray_point, 0) # return n-dimensional zero vector
# if distance is negative then flip the sign of both the
# normal and the distance:
if distance < 0:
np.multiply(normal, -1);
distance = distance * -1
# find out how much we move along the plane normal for
# every unit distance along the ray normal:
dot_product = np.dot(normal, unit_ray)
# check the dot product is positive, if not then the
# plane is in the opposite direction to the rayL
if dot_product > 0:
# calculate the distance of the plane
# along the ray normal:
ray_distance = distance / dot_product
# is this the closest so far:
if closest_plane is None or ray_distance < closest_plane_distance:
closest_plane = plane
closest_plane_distance = ray_distance
# was there no valid plane? (should never happen):
if closest_plane is None:
return None
# return the point along the unit_ray of the closest plane,
# which will be the intersection point
return np.multiply(unit_ray, closest_plane_distance)
Тестовый код в 2D (решение обобщает на более высокие размеры):
from scipy.spatial import ConvexHull
import numpy as np
points = np.array([[-2, -2], [2, 0], [-1, 2]])
h = ConvexHull(points)
closest_point = find_hull_intersection(h, [1, -1])
print closest_point
выход:
[ 0.66666667 -0.66666667]