Мне нужно найти k-й наименьший элемент в двоичном дереве поиска без использования какой-либо статической/глобальной переменной. Как достичь этого эффективно? Решение, которое у меня на уме, делает операцию в O (n), наихудший случай, так как я планирую сделать обход всего дерева. Но в глубине души я чувствую, что здесь я не использую свойство BST. Является ли мое предположение правильным или есть лучший доступный?
Найти k-й наименьший элемент в двоичном дереве поиска Оптимальным способом
Ответ 1
Вот только схема идеи:
В BST левое поддерево node T содержит только элементы, меньшие, чем значение, хранящееся в T. Если k меньше числа элементов в левом поддереве, наименьший элемент k th должен принадлежать левому поддереву. В противном случае, если k больше, то наименьший элемент k th находится в правом поддереве.
Мы можем увеличить BST, чтобы каждый node хранил количество элементов в своем левом поддереве (предположим, что левое поддерево данного node включает в себя node). С помощью этой информации вы можете просто пересечь дерево, повторяя количество элементов в левом поддереве, чтобы решить, следует ли выполнять рекурсию в левом или правом поддереве.
Теперь предположим, что мы находимся в node T:
- Если k == num_elements (левое поддерево T), тогда ответ, который мы ищем, это значение в node
T. - Если k > num_elements (левое поддерево T), то, очевидно, мы можем игнорировать левое поддерево, потому что эти элементы также будут меньше, чем
kth наименьшее. Итак, мы уменьшаем проблему до нахождения наименьшего элементаk - num_elements(left subtree of T)правого поддерева. - Если k < num_elements (левое поддерево T), тогда
kth самый маленький находится где-то в левом поддереве, поэтому мы уменьшаем проблему до нахождения наименьшего элементаkth в левом поддереве.
Анализ сложности:
Это занимает O(depth of node) время, которое O(log n) в худшем случае на сбалансированном BST или O(log n) в среднем для случайного BST.
Для BST требуется хранилище O(n), и для хранения информации о количестве элементов требуется еще O(n). Все операции BST занимают время O(depth of node), и для сохранения информации о количестве элементов для вставки, удаления или вращения узлов требуется O(depth of node) дополнительное время. Поэтому сохранение информации о количестве элементов в левом поддереве сохраняет пространственную и временную сложность BST.
Ответ 2
Более простым решением было бы сделать обход внутри и отслеживать элемент, который в настоящее время печатается (без его печати). Когда мы достигнем k, напечатаем элемент и пропустим обход дерева.
void findK(Node* p, int* k) {
if(!p || k < 0) return;
findK(p->left, k);
--k;
if(k == 0) {
print p->data;
return;
}
findK(p->right, k);
}
Ответ 3
public int ReturnKthSmallestElement1(int k)
{
Node node = Root;
int count = k;
int sizeOfLeftSubtree = 0;
while(node != null)
{
sizeOfLeftSubtree = node.SizeOfLeftSubtree();
if (sizeOfLeftSubtree + 1 == count)
return node.Value;
else if (sizeOfLeftSubtree < count)
{
node = node.Right;
count -= sizeOfLeftSubtree+1;
}
else
{
node = node.Left;
}
}
return -1;
}
это моя реализация в С#, основанная на вышеприведенном алгоритме, просто подумал, что я опубликую его, чтобы люди могли понять, что это работает для меня.
спасибо IVlad
Ответ 4
//добавить версию Java без рекурсии
public static <T> void find(TreeNode<T> node, int num){
Stack<TreeNode<T>> stack = new Stack<TreeNode<T>>();
TreeNode<T> current = node;
int tmp = num;
while(stack.size() > 0 || current!=null){
if(current!= null){
stack.add(current);
current = current.getLeft();
}else{
current = stack.pop();
tmp--;
if(tmp == 0){
System.out.println(current.getValue());
return;
}
current = current.getRight();
}
}
}
Ответ 5
Более простым решением было бы сделать обход по порядку и отслеживать элемент, который в настоящее время печатается с помощью счетчика k. Когда мы достигнем k, напечатайте элемент. Время выполнения - O (n). Помните, что тип возвращаемого значения функции не может быть недействительным, он должен вернуть свое обновленное значение k после каждого рекурсивного вызова. Лучшим решением для этого было бы расширенное BST с отсортированным значением позиции на каждом node.
public static int kthSmallest (Node pivot, int k){
if(pivot == null )
return k;
k = kthSmallest(pivot.left, k);
k--;
if(k == 0){
System.out.println(pivot.value);
}
k = kthSmallest(pivot.right, k);
return k;
}
Ответ 6
Вы можете использовать итеративный обход по порядку: http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Iterative_Traversal с простой проверкой для k-го элемента после того, как выложили node из стека.
Ответ 7
Учитывая просто одно дерево двоичного поиска, обо всем, что вы можете сделать, это начать с самого маленького и повернуть вверх, чтобы найти правильный node.
Если вы собираетесь делать это очень часто, вы можете добавить атрибут к каждому node, указав, сколько узлов находится в его левом поддереве. Используя это, вы можете спуститься к дереву непосредственно к правильному node.
Ответ 8
Рекурсивная прогулка в порядке с счетчиком
Time Complexity: O( N ), N is the number of nodes
Space Complexity: O( 1 ), excluding the function call stack
Идея аналогична решению @prasadvk, но у нее есть некоторые недостатки (см. примечания ниже), поэтому я отправляю это как отдельный ответ.
// Private Helper Macro
#define testAndReturn( k, counter, result ) \
do { if( (counter == k) && (result == -1) ) { \
result = pn->key_; \
return; \
} } while( 0 )
// Private Helper Function
static void findKthSmallest(
BstNode const * pn, int const k, int & counter, int & result ) {
if( ! pn ) return;
findKthSmallest( pn->left_, k, counter, result );
testAndReturn( k, counter, result );
counter += 1;
testAndReturn( k, counter, result );
findKthSmallest( pn->right_, k, counter, result );
testAndReturn( k, counter, result );
}
// Public API function
void findKthSmallest( Bst const * pt, int const k ) {
int counter = 0;
int result = -1; // -1 := not found
findKthSmallest( pt->root_, k, counter, result );
printf("%d-th element: element = %d\n", k, result );
}
Примечания (и отличия от решения @prasadvk):
-
if( counter == k )требуется тест в трех местах: (a) после левого поддерева, (b) после root и (c) после правого поддерева. Это значение гарантирует, что k-й элемент обнаружен для всех местоположений, то есть независимо от поддерева, в котором он находится. -
if( result == -1 )требуется проверка, чтобы печатался только элемент результатов, в противном случае печатаются все элементы, начиная с k-го наименьшего до корня.
Ответ 9
Для сбалансированного дерева поиска не требуется O (n).
Для сбалансированного дерева поиска он принимает O (k + log n) в худшем случае, но только O (k) в Амортизированном смысле.
Наличие и управление дополнительным целым числом для каждого node: размер поддерева дает сложность времени O (log n). Такое сбалансированное дерево поиска обычно называется RankTree.
В общем, существуют решения (основанные не на дереве).
С уважением.
Ответ 10
Это хорошо работает: status: это массив, который содержит элемент, найденный. k: находится k-ый элемент. count: отслеживает количество узлов, пройденных во время обхода дерева.
int kth(struct tree* node, int* status, int k, int count)
{
if (!node) return count;
count = kth(node->lft, status, k, count);
if( status[1] ) return status[0];
if (count == k) {
status[0] = node->val;
status[1] = 1;
return status[0];
}
count = kth(node->rgt, status, k, count+1);
if( status[1] ) return status[0];
return count;
}
Ответ 11
Ну вот мои 2 цента...
int numBSTnodes(const Node* pNode){
if(pNode == NULL) return 0;
return (numBSTnodes(pNode->left)+numBSTnodes(pNode->right)+1);
}
//This function will find Kth smallest element
Node* findKthSmallestBSTelement(Node* root, int k){
Node* pTrav = root;
while(k > 0){
int numNodes = numBSTnodes(pTrav->left);
if(numNodes >= k){
pTrav = pTrav->left;
}
else{
//subtract left tree nodes and root count from 'k'
k -= (numBSTnodes(pTrav->left) + 1);
if(k == 0) return pTrav;
pTrav = pTrav->right;
}
return NULL;
}
Ответ 12
Хотя это определенно не оптимальное решение проблемы, это еще одно потенциальное решение, которое, по моему мнению, может показаться интересным людям:
/**
* Treat the bst as a sorted list in descending order and find the element
* in position k.
*
* Time complexity BigO ( n^2 )
*
* 2n + sum( 1 * n/2 + 2 * n/4 + ... ( 2^n-1) * n/n ) =
* 2n + sigma a=1 to n ( (2^(a-1)) * n / 2^a ) = 2n + n(n-1)/4
*
* @param t The root of the binary search tree.
* @param k The position of the element to find.
* @return The value of the element at position k.
*/
public static int kElement2( Node t, int k ) {
int treeSize = sizeOfTree( t );
return kElement2( t, k, treeSize, 0 ).intValue();
}
/**
* Find the value at position k in the bst by doing an in-order traversal
* of the tree and mapping the ascending order index to the descending order
* index.
*
*
* @param t Root of the bst to search in.
* @param k Index of the element being searched for.
* @param treeSize Size of the entire bst.
* @param count The number of node already visited.
* @return Either the value of the kth node, or Double.POSITIVE_INFINITY if
* not found in this sub-tree.
*/
private static Double kElement2( Node t, int k, int treeSize, int count ) {
// Double.POSITIVE_INFINITY is a marker value indicating that the kth
// element wasn't found in this sub-tree.
if ( t == null )
return Double.POSITIVE_INFINITY;
Double kea = kElement2( t.getLeftSon(), k, treeSize, count );
if ( kea != Double.POSITIVE_INFINITY )
return kea;
// The index of the current node.
count += 1 + sizeOfTree( t.getLeftSon() );
// Given any index from the ascending in order traversal of the bst,
// treeSize + 1 - index gives the
// corresponding index in the descending order list.
if ( ( treeSize + 1 - count ) == k )
return (double)t.getNumber();
return kElement2( t.getRightSon(), k, treeSize, count );
}
Ответ 13
Подпись:
Node * find(Node* tree, int *n, int k);
вызывать как:
*n = 0;
kthNode = find(root, n, k);
определение:
Node * find ( Node * tree, int *n, int k)
{
Node *temp = NULL;
if (tree->left && *n<k)
temp = find(tree->left, n, k);
*n++;
if(*n==k)
temp = root;
if (tree->right && *n<k)
temp = find(tree->right, n, k);
return temp;
}
Ответ 14
Это то, что я, хотя и работает. Он будет работать в o (log n)
public static int FindkThSmallestElemet(Node root, int k)
{
int count = 0;
Node current = root;
while (current != null)
{
count++;
current = current.left;
}
current = root;
while (current != null)
{
if (count == k)
return current.data;
else
{
current = current.left;
count--;
}
}
return -1;
} // end of function FindkThSmallestElemet
Ответ 15
Хорошо, мы можем просто использовать обход в порядке и нажимать посещенный элемент на стек. pop k количество раз, чтобы получить ответ.
мы также можем остановиться после k элементов
Ответ 16
Решение для полного случая BST: -
Node kSmallest(Node root, int k) {
int i = root.size(); // 2^height - 1, single node is height = 1;
Node result = root;
while (i - 1 > k) {
i = (i-1)/2; // size of left subtree
if (k < i) {
result = result.left;
} else {
result = result.right;
k -= i;
}
}
return i-1==k ? result: null;
}
Ответ 17
Ядро Linux имеет превосходную дополненную структуру данных с красным-черным деревом, которая поддерживает операции с рангами в O (log n) в linux/lib/rbtree.c.
Очень грубый порт Java также можно найти в http://code.google.com/p/refolding/source/browse/trunk/core/src/main/java/it/unibo/refolding/alg/RbTree.java вместе с RbRoot.java и RbNode.java. N-ый элемент может быть получен путем вызова RbNode.nth(RbNode node, int n), проходящего в корне дерева.
Ответ 18
Здесь краткая версия в С#, которая возвращает k-й наименьший элемент, но требует передачи k в качестве аргумента ref (это тот же подход, что и @prasadvk)
Node FindSmall(Node root, ref int k)
{
if (root == null || k < 1)
return null;
Node node = FindSmall(root.LeftChild, ref k);
if (node != null)
return node;
if (--k == 0)
return node ?? root;
return FindSmall(root.RightChild, ref k);
}
Это O (log n), чтобы найти самый маленький node, а затем O (k) для перехода к k-th node, поэтому он O (k + log n).
Ответ 19
http://www.geeksforgeeks.org/archives/10379
это точный ответ на этот вопрос: -
1. использование обходного пути по O (n) времени 2.using Добавленное дерево в k + log n время
Ответ 20
Я не мог найти лучший алгоритм... и решил написать один:) Исправьте меня, если это не так.
class KthLargestBST{
protected static int findKthSmallest(BSTNode root,int k){//user calls this function
int [] result=findKthSmallest(root,k,0);//I call another function inside
return result[1];
}
private static int[] findKthSmallest(BSTNode root,int k,int count){//returns result[]2 array containing count in rval[0] and desired element in rval[1] position.
if(root==null){
int[] i=new int[2];
i[0]=-1;
i[1]=-1;
return i;
}else{
int rval[]=new int[2];
int temp[]=new int[2];
rval=findKthSmallest(root.leftChild,k,count);
if(rval[0]!=-1){
count=rval[0];
}
count++;
if(count==k){
rval[1]=root.data;
}
temp=findKthSmallest(root.rightChild,k,(count));
if(temp[0]!=-1){
count=temp[0];
}
if(temp[1]!=-1){
rval[1]=temp[1];
}
rval[0]=count;
return rval;
}
}
public static void main(String args[]){
BinarySearchTree bst=new BinarySearchTree();
bst.insert(6);
bst.insert(8);
bst.insert(7);
bst.insert(4);
bst.insert(3);
bst.insert(4);
bst.insert(1);
bst.insert(12);
bst.insert(18);
bst.insert(15);
bst.insert(16);
bst.inOrderTraversal();
System.out.println();
System.out.println(findKthSmallest(bst.root,11));
}
}
Ответ 21
Вот код java,
max (Node root, int k) - найти k-е наибольшее
min (Node root, int k) - найти kth Smallest
static int count(Node root){
if(root == null)
return 0;
else
return count(root.left) + count(root.right) +1;
}
static int max(Node root, int k) {
if(root == null)
return -1;
int right= count(root.right);
if(k == right+1)
return root.data;
else if(right < k)
return max(root.left, k-right-1);
else return max(root.right, k);
}
static int min(Node root, int k) {
if (root==null)
return -1;
int left= count(root.left);
if(k == left+1)
return root.data;
else if (left < k)
return min(root.right, k-left-1);
else
return min(root.left, k);
}
Ответ 22
это тоже сработает. просто вызовите функцию с maxNode в дереве
def k_largest (self, node, k): если k < 0: return None
если k == 0: return node еще: k - = 1 return self.k_largest (self.predecessor(node), k)
Ответ 23
Я думаю, что это лучше, чем принятый ответ, потому что ему не нужно изменять исходное дерево node, чтобы сохранить количество его дочерних узлов.
Нам просто нужно использовать обход в порядке, чтобы подсчитать наименьший node слева направо, прекратить поиск, когда счетчик равен K.
private static int count = 0;
public static void printKthSmallestNode(Node node, int k){
if(node == null){
return;
}
if( node.getLeftNode() != null ){
printKthSmallestNode(node.getLeftNode(), k);
}
count ++ ;
if(count <= k )
System.out.println(node.getValue() + ", count=" + count + ", k=" + k);
if(count < k && node.getRightNode() != null)
printKthSmallestNode(node.getRightNode(), k);
}
Ответ 24
Решение IVlad с использованием order statistics tree является наиболее эффективным. Но если вы не можете использовать order statistics tree и застряли с обычным старым BST, лучшим способом будет сделать In Order Traversal (как указано прасадком). Но его решение неадекватно, если вы хотите вернуть k-й наименьший элемент, а не просто распечатать значение. Кроме того, поскольку его решение является рекурсивным, существует опасность. Поэтому я написал java-решение, которое возвращает k-й наименьший node, и использует стек для выполнения Inverse Traversal. Время выполнения - O (n), а пространственная сложность - O (h), где h - максимальная высота дерева.
// The 0th element is defined to be the smallest element in the tree.
public Node find_kth_element(Node root , int k) {
if (root == null || k < 0) return null;
Deque<Node> stack = new ArrayDeque<Node>();
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node curr = stack.peek();
if (curr.left != null) {
stack.push(curr.left);
continue;
}
if (k == 0) return curr;
stack.pop();
--k;
if (curr.right != null) {
stack.push(curr.right);
}
}
return null;
}
Ответ 25
Лучший подход уже существует. Но я хотел бы добавить простой код для этого
int kthsmallest(treenode *q,int k){
int n = size(q->left) + 1;
if(n==k){
return q->val;
}
if(n > k){
return kthsmallest(q->left,k);
}
if(n < k){
return kthsmallest(q->right,k - n);
}
}
int size(treenode *q){
if(q==NULL){
return 0;
}
else{
return ( size(q->left) + size(q->right) + 1 );
}}
Ответ 26
Использование вспомогательного класса результатов для отслеживания, если найдено node и текущий k.
public class KthSmallestElementWithAux {
public int kthsmallest(TreeNode a, int k) {
TreeNode ans = kthsmallestRec(a, k).node;
if (ans != null) {
return ans.val;
} else {
return -1;
}
}
private Result kthsmallestRec(TreeNode a, int k) {
//Leaf node, do nothing and return
if (a == null) {
return new Result(k, null);
}
//Search left first
Result leftSearch = kthsmallestRec(a.left, k);
//We are done, no need to check right.
if (leftSearch.node != null) {
return leftSearch;
}
//Consider number of nodes found to the left
k = leftSearch.k;
//Check if current root is the solution before going right
k--;
if (k == 0) {
return new Result(k - 1, a);
}
//Check right
Result rightBalanced = kthsmallestRec(a.right, k);
//Consider all nodes found to the right
k = rightBalanced.k;
if (rightBalanced.node != null) {
return rightBalanced;
}
//No node found, recursion will continue at the higher level
return new Result(k, null);
}
private class Result {
private final int k;
private final TreeNode node;
Result(int max, TreeNode node) {
this.k = max;
this.node = node;
}
}
}
Ответ 27
Я написал аккуратную функцию для вычисления k-го наименьшего элемента. Я использую in-order traversal и останавливается, когда он достигает k-го наименьшего элемента.
void btree::kthSmallest(node* temp, int& k){
if( temp!= NULL) {
kthSmallest(temp->left,k);
if(k >0)
{
if(k==1)
{
cout<<temp->value<<endl;
return;
}
k--;
}
kthSmallest(temp->right,k); }}
Ответ 28
int RecPrintKSmallest(Node_ptr head,int k){
if(head!=NULL){
k=RecPrintKSmallest(head->left,k);
if(k>0){
printf("%c ",head->Node_key.key);
k--;
}
k=RecPrintKSmallest(head->right,k);
}
return k;
}
Ответ 29
public TreeNode findKthElement(TreeNode root, int k){
if((k==numberElement(root.left)+1)){
return root;
}
else if(k>numberElement(root.left)+1){
findKthElement(root.right,k-numberElement(root.left)-1);
}
else{
findKthElement(root.left, k);
}
}
public int numberElement(TreeNode node){
if(node==null){
return 0;
}
else{
return numberElement(node.left) + numberElement(node.right) + 1;
}
}
Ответ 30
public static Node kth(Node n, int k){
Stack<Node> s=new Stack<Node>();
int countPopped=0;
while(!s.isEmpty()||n!=null){
if(n!=null){
s.push(n);
n=n.left;
}else{
node=s.pop();
countPopped++;
if(countPopped==k){
return node;
}
node=node.right;
}
}
}