Откройте длинные узоры

Ответ 1

Обновление

Я сделал усовершенствование алгоритма, что он принимает среднее значение O (M + N ^ 2) и потребности в памяти O (M + N). В основном это то же, что описанный ниже протокол, но для вычисления возможных факторов A, K для ech diference D, я предварительно загружаю таблицу. Эта таблица занимает меньше секунды для построения M = 10 ^ 7.

Я сделал реализацию C, которая занимает менее 10 минут, чтобы решить N = 10 ^ 5 различных случайных целых элементов.

Вот исходный код в C: Для выполнения просто выполните: gcc -O3 -o findgeo findgeo.c

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <memory.h>
#include <time.h>

struct Factor {
    int a;
    int k;
    struct Factor *next;
};

struct Factor *factors = 0;
int factorsL=0;

void ConstructFactors(int R) {
    int a,k,C;
    int R2;
    struct Factor *f;
    float seconds;
    clock_t end;
    clock_t start = clock();

    if (factors) free(factors);
    factors = malloc (sizeof(struct Factor) *((R>>1) + 1));
    R2 = R>>1 ;
    for (a=0;a<=R2;a++) {
        factors[a].a= a;
        factors[a].k=1;
        factors[a].next=NULL;
    }
    factorsL=R2+1;
    R2 = floor(sqrt(R));
    for (k=2; k<=R2; k++) {
        a=1;
        C=a*k*(k+1);
        while (C<R) {
            C >>= 1;
            f=malloc(sizeof(struct Factor));
            *f=factors[C];
            factors[C].a=a;
            factors[C].k=k;
            factors[C].next=f;
            a++;
            C=a*k*(k+1);
        }
    }

    end = clock();
    seconds = (float)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("Construct Table: %f\n",seconds);
}

void DestructFactors() {
    int i;
    struct Factor *f;
    for (i=0;i<factorsL;i++) {
        while (factors[i].next) {
            f=factors[i].next->next;
            free(factors[i].next);
            factors[i].next=f;
        }
    }
    free(factors);
    factors=NULL;
    factorsL=0;
}

int ipow(int base, int exp)
{
    int result = 1;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1)
            result *= base;
        exp >>= 1;
        base *= base;
    }

    return result;
}

void findGeo(int **bestSolution, int *bestSolutionL,int *Arr, int L) {
    int i,j,D;
    int mustExistToBeBetter;
    int R=Arr[L-1]-Arr[0];
    int *possibleSolution;
    int possibleSolutionL=0;
    int exp;
    int NextVal;
    int idx;
    int kMax,aMax;
    float seconds;
    clock_t end;
    clock_t start = clock();


    kMax = floor(sqrt(R));
    aMax = floor(R/2);
    ConstructFactors(R);
    *bestSolutionL=2;
    *bestSolution=malloc(0);

    possibleSolution = malloc(sizeof(int)*(R+1));

    struct Factor *f;
    int *H=malloc(sizeof(int)*(R+1));
    memset(H,0, sizeof(int)*(R+1));
    for (i=0;i<L;i++) {
        H[ Arr[i]-Arr[0] ]=1;
    }
    for (i=0; i<L-2;i++) {
        for (j=i+2; j<L; j++) {
            D=Arr[j]-Arr[i];
            if (D & 1) continue;
            f = factors + (D >>1);
            while (f) {
                idx=Arr[i] + f->a * f->k  - Arr[0];
                if ((f->k <= kMax)&& (f->a<aMax)&&(idx<=R)&&H[idx]) {
                    if (f->k ==1) {
                        mustExistToBeBetter = Arr[i] + f->a * (*bestSolutionL);
                    } else {
                        mustExistToBeBetter = Arr[i] + f->a * f->k * (ipow(f->k,*bestSolutionL) - 1)/(f->k-1);
                    }
                    if (mustExistToBeBetter< Arr[L-1]+1) {
                        idx=  floor(mustExistToBeBetter - Arr[0]);
                    } else {
                        idx = R+1;
                    }
                    if ((idx<=R)&&H[idx]) {
                        possibleSolution[0]=Arr[i];
                        possibleSolution[1]=Arr[i] + f->a*f->k;
                        possibleSolution[2]=Arr[j];
                        possibleSolutionL=3;
                        exp = f->k * f->k * f->k;
                        NextVal = Arr[j] + f->a * exp;
                        idx=NextVal - Arr[0];
                        while ( (idx<=R) && H[idx]) {
                            possibleSolution[possibleSolutionL]=NextVal;
                            possibleSolutionL++;
                            exp = exp * f->k;
                            NextVal = NextVal + f->a * exp;
                            idx=NextVal - Arr[0];
                        }

                        if (possibleSolutionL > *bestSolutionL) {
                            free(*bestSolution);
                            *bestSolution = possibleSolution;
                            possibleSolution = malloc(sizeof(int)*(R+1));
                            *bestSolutionL=possibleSolutionL;
                            kMax= floor( pow (R, 1/ (*bestSolutionL) ));
                            aMax= floor(R /  (*bestSolutionL));
                        }
                    }
                }
                f=f->next;
            }
        }
    }

    if (*bestSolutionL == 2) {
        free(*bestSolution);
        possibleSolutionL=0;
        for (i=0; (i<2)&&(i<L); i++ ) {
            possibleSolution[possibleSolutionL]=Arr[i];
            possibleSolutionL++;
        }
        *bestSolution = possibleSolution;
        *bestSolutionL=possibleSolutionL;
    } else {
        free(possibleSolution);
    }
    DestructFactors();
    free(H);

    end = clock();
    seconds = (float)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("findGeo: %f\n",seconds);
}

int compareInt (const void * a, const void * b)
{
    return *(int *)a - *(int *)b;
}

int main(void) {
    int N=100000;
    int R=10000000;
    int *A = malloc(sizeof(int)*N);
    int *Sol;
    int SolL;
    int i;


    int *S=malloc(sizeof(int)*R);
    for (i=0;i<R;i++) S[i]=i+1;

    for (i=0;i<N;i++) {
        int r = rand() % (R-i);
        A[i]=S[r];
        S[r]=S[R-i-1];
    }

    free(S);
    qsort(A,N,sizeof(int),compareInt);

/*
    int step = floor(R/N);
    A[0]=1;
    for (i=1;i<N;i++) {
        A[i]=A[i-1]+step;
    }
*/

    findGeo(&Sol,&SolL,A,N);

    printf("[");
    for (i=0;i<SolL;i++) {
        if (i>0) printf(",");
        printf("%d",Sol[i]);
    }
    printf("]\n");
    printf("Size: %d\n",SolL);

    free(Sol);
    free(A);
    return EXIT_SUCCESS;
}

Demostration

Я попытаюсь продемонстрировать, что предложенный мной алгоритм в среднем для равномерно распределенной случайной последовательности. Я не математик, и я не привык делать подобные демонстрации, поэтому, пожалуйста, заполните, чтобы исправить мне любую ошибку, которую вы можете видеть.

Существует 4 отступованных петель, два первых - коэффициент N ^ 2. M - для вычисления таблицы возможных факторов).

Третий цикл выполняется только один раз в среднем для каждой пары. Вы можете увидеть это, проверяя размер таблицы предварительно рассчитанных факторов. Его размер M, когда N- > inf. Таким образом, средние шаги для каждой пары составляют M/M = 1.

Итак, доказательство проверяет, что четвертый цикл. (Тот, который пересекает добрые последовательности, выполняется меньше или равен O (N ^ 2) для всех пар.

Чтобы продемонстрировать это, я рассмотрю два случая: один, где M → N и другие, где M ~ = N. Где M - максимальная разница исходного массива: M = S (n) -S (1).

В первом случае (M → N) вероятность найти совпадение равна p = N/M. Чтобы начать последовательность, она должна совпадать с вторым и элементом b + 1, где b - длина самой лучшей последовательности до сих пор. Таким образом, цикл будет вводить раз. И средняя длина этой серии (предполагая бесконечный ряд) равна . Таким образом, общее количество циклов, которые будет выполняться, будет . И это близко к 0, когда M → N. Проблема здесь в том, что M ~ = N.

Теперь рассмотрим этот случай, когда M ~ = N. Предположим, что b - лучшая длина последовательности до сих пор. Для случая A = k = 1 последовательность должна начинаться до N-b, поэтому число последовательностей будет N-b, а времена, которые будут проходить для цикла, будут максимальны (N-b) * b.

При A > 1 и k = 1 мы можем экстраполировать на , где d - M/N (среднее расстояние между числами). Если мы добавим для всех As от 1 до dN/b, то мы увидим верхний предел:

Для случаев, когда k >= 2, мы видим, что последовательность должна начинаться до , поэтому цикл будет вводить среднее значение и добавление для всех As от 1 до dN/k ^ b, это дает предел

Здесь худший случай, когда b минимален. Поскольку мы рассматриваем минимальные ряды, рассмотрим очень худший случай b = 2, поэтому число проходов для 4-го цикла для данного k будет меньше

.

И если мы добавим все ks от 2 до бесконечности, получим:

Итак, добавив все проходы для k = 1 и k >= 2, мы имеем максимум:

<Т411 >

Заметим, что d = M/N = 1/p.

Итак, у нас есть два предела: один, который переходит в бесконечность, когда d = 1/p = M/N переходит в 1, а другой - бесконечен, когда d переходит в бесконечность. Таким образом, наш предел - это минимум обоих, и худший случай - когда пересекаются оба круга. Поэтому, если мы решим уравнение:

мы видим, что максимум равен d = 1.353

Таким образом, показано, что четвертые петли будут обрабатываться менее 1,55 Н ^ 2 раза.

Конечно, это для среднего случая. В худшем случае я не могу найти способ генерировать ряды, чей четвертый цикл выше O (N ^ 2), и я твердо верю, что они не существуют, но я не математик, чтобы это доказать.

Старый ответ

Вот решение в среднем O ((n ^ 2) * cube_root (M)), где M - разность между первым и последним элементами массива. И требования к памяти O (M + N).

1. Построить массив H длины M, так что M [i-S [0]] = true, если я существует в начальном массиве и false, если он не существует.

2.- Для каждой пары в массиве S [j] S [i] do:

2.1 Проверьте, может ли это быть первым и третьим элементом возможного решения. Для этого вычислите все возможные пары A, K, которые удовлетворяют уравнению S (i) = S (j) + AK + AK ^ 2. Проверьте этот вопрос SO, чтобы узнать, как решить эту проблему. И убедитесь, что существуют второй элемент: S [i] + A * K

2.2. Проверьте также, что существует элемент с одной позицией, что лучшее решение, которое у нас есть. Например, если наилучшее решение, которое мы имеем до сих пор, состоит из 4 элементов, то проверьте, существуют ли элементы A [j] + AK + AK ^ 2 + AK ^ 3 + AK ^ 4

2.3 Если значения 2.1 и 2.2 истинны, то итерации, сколько времени этот ряд и устанавливается как bestSolution до сих пор, длиннее последнего.

Вот код в javascript:

function getAKs(A) {
    if (A / 2 != Math.floor(A / 2)) return [];
    var solution = [];
    var i;
    var SR3 = Math.pow(A, 1 / 3);
    for (i = 1; i <= SR3; i++) {
        var B, C;
        C = i;
        B = A / (C * (C + 1));
        if (B == Math.floor(B)) {
            solution.push([B, C]);
        }

        B = i;
        C = (-1 + Math.sqrt(1 + 4 * A / B)) / 2;
        if (C == Math.floor(C)) {
            solution.push([B, C]);
        }
    }

    return solution;
}

function getBestGeometricSequence(S) {
    var i, j, k;

    var bestSolution = [];

    var H = Array(S[S.length-1]-S[0]);
    for (i = 0; i < S.length; i++) H[S[i] - S[0]] = true;

    for (i = 0; i < S.length; i++) {
        for (j = 0; j < i; j++) {
            var PossibleAKs = getAKs(S[i] - S[j]);
            for (k = 0; k < PossibleAKs.length; k++) {
                var A = PossibleAKs[k][0];
                var K = PossibleAKs[k][17];

                var mustExistToBeBetter;
                if (K==1) {
                    mustExistToBeBetter = S[j] + A * bestSolution.length;
                } else {
                    mustExistToBeBetter = S[j] + A * K * (Math.pow(K,bestSolution.length) - 1)/(K-1);
                }

                if ((H[S[j] + A * K - S[0]]) && (H[mustExistToBeBetter - S[0]])) {
                    var possibleSolution=[S[j],S[j] + A * K,S[i]];
                    exp = K * K * K;
                    var NextVal = S[i] + A * exp;
                    while (H[NextVal - S[0]] === true) {
                        possibleSolution.push(NextVal);
                        exp = exp * K;
                        NextVal = NextVal + A * exp;
                    }

                    if (possibleSolution.length > bestSolution.length) {
                        bestSolution = possibleSolution;
                    }
                }
            }
        }
    }
    return bestSolution;
}

//var A= [ 1, 2, 3,5,7, 15, 27, 30,31, 81];
var A=[];
for (i=1;i<=3000;i++) {
    A.push(i);
}
var sol=getBestGeometricSequence(A);

$("#result").html(JSON.stringify(sol));

Вы можете проверить код здесь: http://jsfiddle.net/6yHyR/1/

Я поддерживаю другое решение, потому что считаю, что лучше, когда M очень большой по сравнению с N.

Ответ 2

Чтобы начать с чего-то, здесь - это простое решение в JavaScript:

var input = [0.7, 1, 2, 3, 4, 7, 15, 27, 30, 31, 81], 
    output = [], indexes, values, i, index, value, i_max_length,
    i1, i2, i3, j1, j2, j3, difference12a, difference23a, difference12b, difference23b,
    scale_factor, common_ratio_a, common_ratio_b, common_ratio_c,
    error, EPSILON = 1e-9, common_ratio_is_integer,
    resultDiv = $("#result");

for (i1 = 0; i1 < input.length - 2; ++i1) {
    for (i2 = i1 + 1; i2 < input.length - 1; ++i2) {
        scale_factor = difference12a = input[i2] - input[i1];
        for (i3 = i2 + 1; i3 < input.length; ++i3) {
            difference23a = input[i3] - input[i2];
            common_ratio_1a = difference23a / difference12a;
            common_ratio_2a = Math.round(common_ratio_1a);
            error = Math.abs((common_ratio_2a - common_ratio_1a) / common_ratio_1a);
            common_ratio_is_integer = error < EPSILON;
            if (common_ratio_2a > 1 && common_ratio_is_integer) {
                indexes = [i1, i2, i3];
                j1 = i2;
                j2 = i3
                difference12b = difference23a;
                for (j3 = j2 + 1; j3 < input.length; ++j3) {
                    difference23b = input[j3] - input[j2];
                    common_ratio_1b = difference23b / difference12b;
                    common_ratio_2b = Math.round(common_ratio_1b);
                    error = Math.abs((common_ratio_2b - common_ratio_1b) / common_ratio_1b);
                    common_ratio_is_integer = error < EPSILON;
                    if (common_ratio_is_integer && common_ratio_2a === common_ratio_2b) {
                        indexes.push(j3);
                        j1 = j2;
                        j2 = j3
                        difference12b = difference23b;
                    }
                }
                values = [];
                for (i = 0; i < indexes.length; ++i) {
                    index = indexes[i];
                    value = input[index];
                    values.push(value);
                }
                output.push(values);
            }
        }
    }
}
if (output !== []) {
    i_max_length = 0;
    for (i = 1; i < output.length; ++i) {
        if (output[i_max_length].length < output[i].length)
            i_max_length = i;
    }
    for (i = 0; i < output.length; ++i) {
        if (output[i_max_length].length == output[i].length)
            resultDiv.append("<p>[" + output[i] + "]</p>");
    }
}

Вывод:

[1, 3, 7, 15, 31]

Я нахожу первые три элемента каждого кандидата подпоследовательности, вычисляю масштабный коэффициент и общее отношение из них, а если общее отношение является целым числом, то я перебираю оставшиеся элементы после третьего и добавляю их к подпоследовательность, которая вписывается в геометрическую прогрессию, определяемую первыми тремя элементами. В качестве последнего шага я выбираю sebsequence/s, который имеет/имеет наибольшую длину.

Ответ 3

Вот мое решение в Javascript. Он должен быть близок к O (n ^ 2), но может быть в некоторых патологических случаях.

function bsearch(Arr,Val, left,right) {
    if (left == right) return left;
    var m=Math.floor((left + right) /2);
    if (Val <= Arr[m]) {
        return bsearch(Arr,Val,left,m);
    } else {
        return bsearch(Arr,Val,m+1,right);
    }
}

function findLongestGeometricSequence(S) {
    var bestSolution=[];

    var i,j,k;
    var H={};
    for (i=0;i<S.length;i++) H[S[i]]=true;

    for (i=0;i<S.length;i++) {
        for (j=0;j<i;j++) {
            for (k=j+1;k<i;) {
                var possibleSolution=[S[j],S[k],S[i]];

                var K = (S[i] - S[k]) / (S[k] - S[j]);
                var A = (S[k] - S[j]) * (S[k] - S[j]) / (S[i] - S[k]); 

                if ((Math.floor(K) == K) && (Math.floor(A)==A)) {
                    exp= K*K*K;
                    var NextVal= S[i] + A * exp;
                    while (H[NextVal] === true) {
                        possibleSolution.push(NextVal);
                        exp = exp * K;
                        NextVal= NextVal + A * exp;                
                    }

                    if (possibleSolution.length > bestSolution.length)
                        bestSolution=possibleSolution;

                    K--;
                } else {
                    K=Math.floor(K);
                }

                if (K>0) {
                    var NextPossibleMidValue= (S[i] + K*S[j]) / (K +1); 
                    k++;
                    if (S[k]<NextPossibleMidValue) {
                        k=bsearch(S,NextPossibleMidValue, k+1, i);
                    }
                } else {
                    k=i;
                }
            }        
        }
    }
    return bestSolution;
}


function Run() {
    var MyS= [0.7, 1, 2, 3, 4, 5,6,7, 15, 27, 30,31, 81];

    var sol = findLongestGeometricSequence(MyS); 

    alert(JSON.stringify(sol));
}

Малое пояснение

Если мы возьмем 3 числа массива S (j) S (k) S (i), то вы можете вычислить a и k так, чтобы: S (k) = S (j) + a * k и S (i) = S (k) + a * k ^ 2 (2 уравнения и 2 инкогнита), Имея это в виду, вы можете проверить, существует ли в массиве число, которое является S (next) = S (i) + a * k ^ 3. Если это так, то продолжите проверку для S (next2) = S (next) + a * k ^ 4 и т.д.

Это было бы решение O (n ^ 3), но вы можете использовать преимущество h, чтобы k было целым, чтобы ограничить выбранные точки S (k).

В случае, если известно, что вы можете вычислить a (k), и вам нужно проверить только одно число в третьем цикле, поэтому этот случай будет явно O (n ^ 2).

Ответ 4

Я думаю, что эта задача связана с не так давно опубликованной Самая длинная однополярная подпоследовательность. Я немного изменил свой алгоритм в Python:

from math import sqrt

def add_precalc(precalc, end, (a, k), count, res, N):
    if end + a * k ** res[1]["count"] > N: return

    x = end + a * k ** count
    if x > N or x < 0: return

    if precalc[x] is None: return

    if (a, k) not in precalc[x]:
        precalc[x][(a, k)] = count

    return

def factors(n):
    res = []
    for x in range(1, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % x == 0:
            y = n / x
            res.append((x, y))
            res.append((y, x))
    return res

def work(input):
    precalc = [None] * (max(input) + 1)
    for x in input: precalc[x] = {}

    N = max(input)

    res = ((0, 0), {"end":0, "count":0})
    for i, x in enumerate(input):
        for y in input[i::-1]:
            for a, k in factors(x - y):
                if (a, k) in precalc[x]: continue
                add_precalc(precalc, x, (a, k), 2, res, N)

        for step, count in precalc[x].iteritems():
            count += 1
            if count > res[1]["count"]: res = (step, {"end":x, "count":count})
            add_precalc(precalc, x, step, count, res, N)
        precalc[x] = None

    d = [res[1]["end"]]
    for x in range(res[1]["count"] - 1, 0, -1):
        d.append(d[-1] - res[0][0] * res[0][1] ** x)
    d.reverse()
    return d

объяснение

• Перемещение массива
• Для каждого предыдущего элемента массива вычисляют коэффициенты разности между текущим и принятым предыдущим элементом, а затем предварительно вычисляют следующий возможный элемент последовательности и сохраняя его для прекалирования массива.
• Таким образом, при достижении элемента i в массиве precalc уже есть все возможные последовательности с элементом i, поэтому мы должны вычислить следующий возможный элемент и сохранить его для precalc.

В настоящее время существует одно место в алгоритме, которое может быть медленным - факторизация каждого предыдущего числа. Я думаю, что это можно сделать быстрее с двумя оптимизациями:

• более эффективный алгоритм факторизации
• найти способ не видеть в каждом элементе массива, используя тот факт, что массив отсортирован и уже есть предварительно просчитанные последовательности

Ответ 5

Python:

def subseq(a):
    seq = []
    aset = set(a)
    for i, x in enumerate(a):
        # elements after x
        for j, x2 in enumerate(a[i+1:]):
            j += i + 1  # enumerate starts j at 0, we want a[j] = x2
            bk = x2 - x  # b*k (assuming k and k exponent start at 1)

            # given b*k, bruteforce values of k
            for k in range(1, bk + 1):
                items = [x, x2]  # our subsequence so far
                nextdist = bk * k # what x3 - x2 should look like

                while items[-1] + nextdist in aset:
                    items.append(items[-1] + nextdist)
                    nextdist *= k

                if len(items) > len(seq):
                    seq = items

    return seq

Время работы O(dn^3), где d - расстояние (среднее?) между двумя элементами, и n, конечно, len(a).

Ответ 6

На самом деле это точно такой же вопрос, как Самая длинная равноуровневая подпоследовательность, вам просто нужно рассмотреть логарифм ваших данных. Если последовательность a, ak, ak ^ 2, ak ^ 3, то логарифмическое значение равно ln (a), ln (a) + ln (k), ln (a) + 2ln (k), ln (a) + 3ln (k), поэтому он равномерно распределен. Конечно, наоборот. В вопросе выше есть много другого кода.

Я не думаю, что частный случай a = 1 может быть разрешен более эффективно, чем адаптация по алгоритму выше.