Я хотел бы найти решение методом наименьших квадратов для коэффициентов a в
z = (a0 + a1*x + a2*y + a3*x**2 + a4*x**2*y + a5*x**2*y**2 + a6*y**2 +
a7*x*y**2 + a8*x*y)
данные массивы x, y и z длиной 20. По сути, я ищу эквивалент numpy.polyfit, но для 2D-полинома.
Этот вопрос похож, но решение предоставляется через MATLAB.
Вот пример, показывающий, как вы можете использовать numpy.linalg.lstsq для этой задачи:
import numpy as np
x = np.linspace(0, 1, 20)
y = np.linspace(0, 1, 20)
X, Y = np.meshgrid(x, y, copy=False)
Z = X**2 + Y**2 + np.random.rand(*X.shape)*0.01
X = X.flatten()
Y = Y.flatten()
A = np.array([X*0+1, X, Y, X**2, X**2*Y, X**2*Y**2, Y**2, X*Y**2, X*Y]).T
B = Z.flatten()
coeff, r, rank, s = np.linalg.lstsq(A, B)
корректирующие коэффициенты coeff:
array([ 0.00423365, 0.00224748, 0.00193344, 0.9982576 , -0.00594063,
0.00834339, 0.99803901, -0.00536561, 0.00286598])
Обратите внимание, что coeff[3] и coeff[6] соответственно соответствуют X**2 и Y**2, и они близки к 1., потому что примерные данные были созданы с помощью Z = X**2 + Y**2 + small_random_component.
Отличный ответ. Просто добавьте код для восстановления функции, используя решение наименьших квадратов для коэффициентов a,
def poly2Dreco(X, Y, c):
return (c[0] + X*c[1] + Y*c[2] + X**2*c[3] + X**2*Y*c[4] + X**2*Y**2*c[5] +
Y**2*c[6] + X*Y**2*c[7] + X*Y*c[8])
Основываясь на ответах @Saullo и @Francisco, я сделал функцию, которая мне показалась полезной:
def polyfit2d(x, y, z, kx=3, ky=3, order=None):
'''
Two dimensional polynomial fitting by least squares.
Fits the functional form f(x,y) = z.
Notes
-----
Resultant fit can be plotted with:
np.polynomial.polynomial.polygrid2d(x, y, soln.reshape((kx+1, ky+1)))
Parameters
----------
x, y: array-like, 1d
x and y coordinates.
z: np.ndarray, 2d
Surface to fit.
kx, ky: int, default is 3
Polynomial order in x and y, respectively.
order: int or None, default is None
If None, all coefficients up to maxiumum kx, ky, ie. up to and including x^kx*y^ky, are considered.
If int, coefficients up to a maximum of kx+ky <= order are considered.
Returns
-------
Return paramters from np.linalg.lstsq.
soln: np.ndarray
Array of polynomial coefficients.
residuals: np.ndarray
rank: int
s: np.ndarray
'''
# grid coords
x, y = np.meshgrid(x, y)
# coefficient array, up to x^kx, y^ky
coeffs = np.ones((kx+1, ky+1))
# solve array
a = np.zeros((coeffs.size, x.size))
# for each coefficient produce array x^i, y^j
for index, (j, i) in enumerate(np.ndindex(coeffs.shape)):
# do not include powers greater than order
if order is not None and i + j > order:
arr = np.zeros_like(x)
else:
arr = coeffs[i, j] * x**i * y**j
a[index] = arr.flatten()
# do leastsq fitting and return leastsq result
return np.linalg.lstsq(a.T, np.ravel(z), rcond=None)
И результирующая подгонка может быть визуализирована с помощью:
fitted_surf = np.polynomial.polynomial.polygrid2d(x, y, soln.reshape((kx+1,ky+1)))
plt.matshow(fitted_surf)