Как понять проблему с рюкзаком NP-complete?

Ответ 1

O(n*W) выглядит как полиномиальное время, но это не так, это псевдополином.

Временная сложность измеряет время, которое алгоритм берет как функцию длины в битах своего ввода. Решение динамического программирования действительно линейно по значению W, но экспоненциально по длине W - и это важно!

Точнее говоря, временная сложность динамического решения задачи о ранце в основном определяется вложенным циклом:

// here goes other stuff we don't care about
for (i = 1 to n)
    for (j = 0 to W)
        // here goes other stuff

Таким образом, сложность времени явно O(n*W).

Что означает линейное увеличение размера входных данных алгоритма? Это означает использование прогрессивно более длинных массивов элементов (например, n, n+1, n+2 ,...) и более длинных W (поэтому, если длина W равна x битам, после одного шага мы используем x+1 бит, а затем x+2 бита,...). Но значение W растет экспоненциально с x, таким образом, алгоритм на самом деле не полиномиальный, он экспоненциальный (но он выглядит как полиномиальный, отсюда и название: "псевдополиномиальный").

Дальнейшие ссылки

• http://www.cs.ship.edu/~tbriggs/dynamic/index.html
• http://websrv.cs.umt.edu/classes/cs531/index.php/Complexity_of_dynamic_programming_algorithm_for_the_0-1_knapsack_problem_3/27

Ответ 2

В задаче о ранце 0/1 нам нужно 2 входа (1 массив и 1 целое число), чтобы решить эту проблему:

1. массив из n элементов: [n1, n2, n3,...], каждый элемент со своим индексом значения и индексом веса.
2. целое число W как максимально допустимый вес

Предположим, что n = 10 и W = 8:

1. n = [n1, n2, n3,..., n10]
2. W = 1000 в двоичном выражении (4-битная длина)

поэтому сложность по времени T (n) = O (nW) = O (10 * 8) = O (80)

Если вы удвоите размер n:

n = [n1, n2, n3,..., n10 ] → n = [n1, n2, n3,..., n20 ]

поэтому сложность по времени T (n) = O (nW) = O (20 * 8) = O (160)

но если вы удвоите размер W, это не означает, что W = 16, но длина будет вдвое больше:

W = 1000 → W = 10000000 в двоичном выражении (8-битная длина)

поэтому T (n) = O (nW) = O (10 * 128) = O (1280)

необходимое время увеличивается в геометрической прогрессии, так что это проблема NPC.

Ответ 3

Все зависит от параметров, которые вы помещаете внутри O(...).

Если целевой вес ограничен числом W, тогда проблема имеет сложность O(n*W), как вы упомянули.

Но если веса слишком велики, и вам нужен алгоритм со сложностью, не зависящей от W, тогда проблема NP-полная. (O(2^n*n) в самой наивной реализации).

Ответ 4

Это связано с тем, что задача о ранце имеет псевдополиномиальное решение и поэтому называется слабо NP-полной (а не сильно NP-полной).

Ответ 5

Размер ввода - это log(W) бит для веса (и O(n) для массивов "value" и "weight").

Таким образом, входной размер веса равен j = log(W) (а не просто W). Итак, W = 2ʲ (в качестве бинарного W = 2ʲ).

Конечная сложность O(n * W)

Это O(n * W) может быть переписано как O(n * 2ʲ), что экспоненциально по отношению к размеру ввода.

Таким образом, это решение не является полиномиальным.

Ответ 6

Вы можете прочитать это краткое объяснение: NP-Полнота рюкзака.

Ответ 7

Чтобы понять NP-полноту, вам нужно немного изучить теорию сложности. Однако, в основном, он NP-завершен, потому что эффективный алгоритм для задачи о ранце также будет эффективным алгоритмом для SAT, TSP и всего остального.